微分積分演習（2020年度）

第3講義05/20

2020/05/20 第3講 演習問題

I

実数$r\in\mathbb{R}$が$r\not=-1$を満たすとき、極限 $$ \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac {1-r^n}{1+r^n} $$ を求めましょう.

II

実数$r\in\mathbb{R}$が$r>0$を満たすとき、極限 $$ \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac {1-nr^n}{1+nr^n} $$ を求めましょう．

III

以下の関数$f(x)$に対して $$ \lim_{n\rightarrow a}\frac {f(x)-f(a)}{x-a} $$ を求めましょう．

(1) $f(x)=\frac 1{x^2}$ $(a\not=0)$ (2) $f(x)=\frac 1{x^3}$ $(a\not=0)$ (3) $f(x)=\sqrt x$ $(a>0)$
(4) $f(x)=\frac 1{\sqrt x}$ $(a>0)$ (5) $f(x)=\frac 1{2x+1}\ (a\not=-\frac 12)$ (6) $f(x)=\frac 1{x+2}\ (a\not=-2)$
(7) $f(x)=\frac 1{(x+1)^2}\ (a\not=-1)$ (8) $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ (9) $f(x)=\frac 1{x^2+x+1}\ $

IV

以下の分数関数のグラフを描きましょう。

(1) $y=\frac {x+1}{x-1}$ (2) $y=\frac {2x+1}{x+1}$ (3) $y=\frac {3x+1}{x+1}$ (4) $y=\frac {3x+4}{x+1}$