微分積分演習問題　2019/12/25

I

(1) $\int^{\frac {\pi}2}_0 t\sin tdt$, (2) $\int^1_{-1} \frac 1{\sqrt{x+2}}dx$, (3) $\int^1_0 x(x-1)^3dx$, (4) $\int^6_{0} \left(\frac 13x-1\right)^4dx$,

(5) $\int^{-1}_{-3} \frac 1{(2x+1)^3}dx$, (6) $\int^{1}_{0} (x+1)e^xdx$, (7) $\int^{1}_{-1} (x+1)^3(x-1)dx$ （部分積分で）

II 以下の積分の値を求めましょう。

(1) $\int^2_{-1}\frac x{\sqrt{3-x}}dx$, (2) $\int^1_{0}\frac {x-1}{(2-x)^2}dx$, (3) $\int^2_{1}x{\sqrt{2-x}}dx$, (4) $\int^6_{0}\left(\frac x3-1\right)^4dx$,

(5) $\int^2_{1}\frac {e^x}{e^x+1}dx$, (6) $\int^2_{1}\frac {e^x}{(e^x+1)^2}dx$, (7) $\int^e_{1}\frac {(\log x)^2}{x}dx$, (8) $\int^1_{0}\sqrt{3-2x}dx$

III

$g(x,y)=1-xy=0$の下で$z=f(x,y)=x+2y$を考えます．停留点を求めて，極大・極小を判定しましょう．

IV

$g(x,y)=x^2-y^2-1=0$をその上の点$(2,\sqrt 3)$の近傍で解いて \begin{equation} \varphi(x)=\sqrt{x^2-1} \end{equation} とします．$\varphi''(2)$を$g$の1階および2階の偏微分係数を用いて求めましょう．

V

$g(x,y)=x+2y-1=0$の下で$z=f(x,y)=xy$を考えます．停留点を求めて極大・極小を判定しましょう．