微分積分、演習問題(wLec 08, 2019年11月28日）
- I 演習7.1
- 回転行列
\begin{equation*}
R_\theta
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta&-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}
\end{equation*}
に対して，次の計算をしましょう．
(1)
$R_{\frac {\pi}2}
\begin{pmatrix}
a\\b
\end{pmatrix}
$
(2)
$R_{-\frac {\pi}2}
\begin{pmatrix}
a\\b
\end{pmatrix}
$
- 解答
- II 演習7.2
- (1) テキストの(7.8)式，すなわち
$\vec{a}\in\mathbf{R}^2$に対して
\begin{equation*}\label{equiv0200}
(\vec{a},\vec{y})=0\quad(\vec{y}\in\mathbf{R}^2)
\quad\Longleftrightarrow\quad\vec{a}=\vec{0}
\end{equation*}
を示しましょう．
- (2) テキストの(7.9)式，すなわち
2次正方行列$C\in M_2(\mathbf{R})$に対して
\begin{equation}\label{equiv0201}
C\vec{x}=\vec{0}\quad(\vec{x}\in\mathbf{R}^2)
\quad\Longleftrightarrow
\quad C=O_2
\end{equation}
を示しましょう．
- 解答ビデオ
(1)・
(2)
- III 演習7.3
-
$P_1,\ P_2$が直交行列とします．$P_1P_2$が直交行列であることを示しましょ
う．${}^tP_1=P_1^{-1}$も直交行列であることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- IV 演習7.4
-
$Q=
\begin{pmatrix}
\cos \theta&\sin \theta\\
\sin \theta&-\cos \theta
\end{pmatrix}
$
に対して$Q^2$を考えて$Q^{-1}$を求めましょう．
- 解答ビデオ
- V 演習7.6
-
(1)
対称行列
$$
A=
\left(
\begin{array}{cc}
2&1\\
1&2
\end{array}
\right)
$$
を直交行列で対角化しましょう．
-
(2) 制約条件$x^2+y^2=1$の下で関数
$$
z=2x^2+2xy+2y^2
$$
の最小値・最大値を求めましょう．
- VI 演習7.8
-
対称行列$A$が定める$2$次形式が正定値であるとします．このとき$A$が正則で
あることを確認して，$A^{-1}$が対称で$A^{-1}$が
定める$2$次形式も正定値であることを示しましょう．
- 解答ビデオ
VII MSF2018Lec04 II
$A=
\begin{pmatrix}
a&b\\c&d
\end{pmatrix}
$
に対してその転置行列を
${}^tA=
\begin{pmatrix}
a&c\\b&d
\end{pmatrix}
$
によって定義します。
$\vec v, \vec w\in\mathbf{R}^2$に対して
$$
(A\vec v,\vec w)=(\vec v,{}^tA\vec w)
$$
が成立することを示しましょう。
VI emath20180424 VI
$
A=
\begin{pmatrix}5-c&2\\2&2-c\end{pmatrix}
$に対して
$$
\left(
A
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\right)>0\quad
\left(
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\not=\vec 0
\right)
$$
を満たす$c\in\mathbf{R}$をすべて求めましょう．
解答ビデオ