微分積分、演習問題(wLec 06, 2019年10月30日）

I

以下の実対称行列を回転行列で対角化しましょう．さらに $A$が定める2次形式を回転座標変換で単純にしましょう．

(1) $A= \begin{pmatrix} -1&3\\ 3&7 \end{pmatrix}$ (2) $A= \begin{pmatrix} 1&2\\ 2&1 \end{pmatrix}$ (3) $A= \begin{pmatrix} 1&4\\ 4&7 \end{pmatrix}$

(4) $A= \begin{pmatrix} 2&-2\\ -2&-1 \end{pmatrix}$ (5) $A= \begin{pmatrix} 3&-3\\ -3&11 \end{pmatrix}$

解答ビデオ(1) , (2) , (3) , (4) , (5)

II

$p,q,r>0$とします．生産関数 $$ f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 12} $$ に対して利潤関数 $$ \pi(x,y)=rf(x,y)-px-qy $$ を考えます．$\pi(x,y)$の停留点を求めましょう．

III

生産関数 $$ f(x,y)=x^\alpha y^\beta\quad (\alpha,\beta>0) $$ を考えます．

(1) $\det(H(f))$, $f_{xx}$を計算しましょう．

(2) $\alpha+\beta\not=1$のとき，利潤関数 $$ \pi(x,y):=pf(x,y)-qx-ry $$ の停留点を求めましょう．ここでは$p,q,r>0$とします．

(3) $\alpha+\beta<1$のとき利潤を最大化する$(x,y)$がただ一つ存在することを示しましょう．

IV

生産関数 $f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$に対する利潤関数 $$ \pi(x,y)=pf(x,y)-qx-ry $$ を最大化して生産要素需要関数 $$ x(p,q,r)=\frac {p^3}{27q^2r},\quad y(p,q,r)=\frac {p^3}{27qr^2} $$ を求めました．利潤関数 $$ \Pi(p,q,r)=\pi(x(p,q,r),y(p,q,r)) $$ 生産物供給関数 $$ z(p,q,r)=f(x(p,q,r),y(p,q,r)) $$ を定義すると \begin{align*} z(p,q,r)&=\frac {\partial \Pi}{\partial p}\\ x(p,q,r)&=-\frac {\partial \Pi}{\partial q}\\ y(p,q,r)&=-\frac {\partial \Pi}{\partial r} \end{align*} が成立することを、具体的に両辺を計算することで示しましょう．