微分積分、演習問題(wL05, 2019年10月23日）

I 以下の関数$z$ に対して停留点を求めて,極大・極小を判定しましょう.

(1) $z=x^2+xy+y^2-4x-8y$

(2) $z=x^3+y^3-9xy+27$

(3) $z=x^2+xy-y^2-4x-2y$

(4) $z=x^2+4xy+2y^2-6x-8y$

(5) $z=x^3-xy-y^2$

(6) $z=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)$

(7) $z=x^3+y^3+6xy$

II

$\alpha,\beta>0$, $\rho>0$を定数として CES関数を \begin{equation} Y=F(K,L)= \left( \alpha K^\rho+\beta L^\rho \right)^\frac 1{\rho} \end{equation} と定義します.

(1) $\log F(K,L)$を$K$, $L$で偏微分して$F_K(K,L)$, $F_L(K,L)$を求めましょう.

(2) $F(K,L)$がEuler の等式 \begin{equation} K\cdot F_K(K,L)+L\cdot F_L(K,L)=F(K,L) \end{equation} を満たすことを示しましょう.

III

$\alpha,\beta>0, A>0$を定数として Cobb-Douglas型関数を \begin{equation} Y=F(K,L)= AK^\alpha L^\beta \end{equation} と定義します.

(1) $F_{KK}$, $F_{KL}$, $F_{LK}$, $F_{LL}$を求めましょう.

(2) 第1象限のすべての点$(K,L)\in\mathbf{R}^2_{++}$に対して \begin{equation} F_{KK}(K,L)<0,\ \text{かつ}\ \det(H(F)(K,L)>0 \end{equation} を満たす$\alpha,\beta$の条件を求めましょう.