微分積分、演習問題(wLec04, 2019年10月16日）

I 次の行列の積を計算しましょう．

(1) $\begin{pmatrix} \alpha&0\\0&\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} \cos\alpha&\sin\alpha\\ \sin\alpha&-\cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha&\sin\alpha\\ \sin\alpha&-\cos\alpha \end{pmatrix}$
(3) $\begin{pmatrix} 1&\lambda\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ (4) $\begin{pmatrix} 1&0\\ \lambda&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ (5) $\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$
(6) $\begin{pmatrix} \lambda&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ (7) $\begin{pmatrix} 1&\lambda\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&\mu\\ 0&1 \end{pmatrix}$ (8) $\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$
(9) $\begin{pmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&\lambda\\ 0&1 \end{pmatrix}$ (10) $\begin{pmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$ (11) $\begin{pmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

解答ビデオ(2) ・ 解答ビデオ(3)--(11)

II 以下の行列の逆行列を求めましょう。

(1) $\begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1&-1\\1&1 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1&\lambda\\ 0&1 \end{pmatrix}$ (4) $\begin{pmatrix} 1&0\\ \lambda&1 \end{pmatrix}$
(5) $\begin{pmatrix} 1&1\\1&2 \end{pmatrix}$ (6) $\begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix}$ (7) $\begin{pmatrix} 2&5\\1&3 \end{pmatrix}$

III 以下の関数に対して2階の導関数$z_{xx}$, $z_{xy}$, $z_{yy}$ を求めましょう．

(1) $z=x^2+xy+y^2-4x-8y$

(2) $z=x^3+y^3-9xy+27$

(3) $z=x^2+xy-y^2-4x-2y$

(4) $z=x^2+4xy+2y^2-6x-8y$

(5) $z=x^3-xy-y^2$

(6) $z=e^{-x^2-y^2}(2x^2+y^2)$

(7) $z=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)$

(8) $z=x^3+y^3+6xy$

IV

曲線 $x^2+xy+y^2-x+2y=0$ が回転座標変換 $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \frac 1{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1&-1\\1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X\\Y \end{pmatrix}$ によっていかなる式で表されるか考えましょう。

V

曲線 $x^2+3xy+y^2-1=0$ が回転座標変換 $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \frac 1{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1&-1\\1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X\\Y \end{pmatrix}$ によっていかなる式で表されるか考えましょう。

VI

以下の関数が第1象限$\mathbf{R}^2_{++}$上でEuler方程式を満たすことを示しましょう．

(1) $u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$, (2) $u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}$