微分積分演習（2019年度）

第3講義04/24

2018/04/25 第3講 演習問題

I

次の差分方程式を解きましょう．

(1) $a_0=1$, $a_{n+1}=a_n+3n-1$

(2) $a_0=1$, $a_{n+1}=a_n+2^n+2n-1$

(3) $a_0=6$, $a_{n+1}=2a_n-3$

(4) $a_0=1$, $a_{n+1}=3a_n+2n$

(5) $a_0=3$, $a_{n+1}=2a_n+3^{n+1}$

(6) $a_0=1, a_1=2$, $a_{n+2}+4a_{n+1}-5a_n=0$

(7) $a_0=1, a_1=2$, $a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n=0$

(8) $a_0=1, a_1=1$, $a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0$

II

(1)$\frac 1{k(k+1)}-\frac 1{(k+1)(k+2)}$を計算しましょう.

(2) (1)を用いて $$ \sum_{k=1}^n\frac 1{k(k+1)(k+2)} $$ を計算しましょう.

III

(1) $(k+1)k(k-1)-k(k-1)(k-2)$を計算しましょう。

(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^nk(k-1)$と $\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2$を計算しましょう。

(3) (2)と同様のテクニックを使って $\displaystyle\sum_{k=1}^n(k+1)k(k-1)$と $\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3$を計算しましょう。

IV(2017/04/26 第3講 小テスト問題)

差分方程式 $$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=p\quad (n=0,1,2,3,\dots)$$ を満たす$\{a_n\}$を$a_0,a_1,p$を用いて表しましょう。

V(2018/04/25 第3講 小テスト問題)

差分方程式 $$ \left\{ \begin{array}{ccccc} a_{n+1}&=&2a_n+\frac 1{2^n}&(n=0,1,2,\ldots)&\qquad(1)\\ a_0&=&C&&\qquad(2) \end{array} \right. $$ の解を求めましょう．