微分積分演習（2019年度）

第2講義04/17

2018/04/18 第2講 演習問題

I

以下の和を求めましょう。

(1) $ S_n:=1+\frac 13+\frac 1{3^2}+\frac 1{3^3}+\dots+\frac 1{3^n} $

(2) $ T_n:=1+2\cdot \frac 12+3\cdot\frac 1{2^2}+\dots+n\cdot \frac 1{2^{n-1}} $

Hint: $$ \begin{array}{clclrrr} &T_n&=&1+&2\cdot \frac 12&+3\cdot \frac 1{2^2}&+\dots\\ -)&\frac 12T_n&=&&1\cdot \frac 12&+2\cdot \frac 1{2^2}&+\dots\\ \hline \end{array} $$

(3) $ T_n:=1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+\dots+n\cdot 3^{n-1} $

II

(1) 講義中 $$ {}_nC_k=\frac {n!}{(n-k)!k!} $$ を用いて $$ k\cdot {}_nC_k=n\cdot {}_{n-1}C_{k-1} $$ を示しました.$n$個の違いのない白玉から$1$個と$(k-1)$個を選んで,$1$個の方を赤 く塗り,$(k-1)$個の方に黒く塗る組み合わせの数としてこの等式を説明しましょ う.

(2)(1)と同様に $$ {}_kC_2\cdot {}_nC_k= {}_nC_2\cdot {}_{n-2}C_{k-2} $$ を示しましょう.

III

$(x+y)^5$を展開しましょう。

IV

以下の組み合わせの数を求めましょう。
(1) ${}_5C_2$ (2) ${}_5C_3$ (3) ${}_6C_1$ (4) ${}_7C_2$ (5) ${}_8C_3$