線型代数第19講、演習問題(2015年12月04日）
- I
- 次の2次形式が正定値であるための必要十分条件を求めましょう。
- (1)
$x^2+3y^2+2z^2+2axy+4axz+2yz$
- (2)
$x^2+y^2+z^2+2a(xy+yz+zx)$
- [解答ビデオ]
- II
- $x^2+y^2+z^2=1$の下で対称行列
$$
A=
\begin{pmatrix}
3&1&1\\
1&3&1\\
1&1&3
\end{pmatrix}
$$
が定める2次形式がとる値の最大値と最小値を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- III
-
$$SO(3):=\{A\in M_n(\mathbf{R});\ {}^tAA=A{}^tA=I_n,\ \det(A)=1\}$$
に対して、次の(1)と(2)を示しましょう。
- (1)
$A,B\in SO(3)\Rightarrow AB\in SO(3)$
- (2)
$A\in SO(3)\Rightarrow A^{-1}\in SO(3)$
- [解答ビデオ]
- IV
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&-5\\
1&3
\end{pmatrix}$
を対角化しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- $A,B\in M_n(\mathbf{C})$は正規行列とします。$A$と$B$が可換とすると、すなわち$AB=BA$を仮定すると、ある$U\in U(n)$に対して
$$
U^*AU, U^*BU
$$
が対角行列となることを示しましょう。
- [解答ビデオ]（2015/12/11に撮り直しました）
- [解答ビデオ]
- VI
- $A\in M_3(\mathbf{R})$は対称とします。$A$が定める2次形式は正定値、すなわち
$$
(A\vec x,\vec x)>0\quad (\vec x\not=\vec 0)
$$
が成立するとします。
- (i)
$A$が正則であることを示しましょう。
- (2)
$A^{-1}$が対称であることを示しましょう。
- (3)
$A^{-1}$が定める2次形式が正定値であること、すなわち
$$
(A^{-1}\vec x,\vec x)>0\quad (\vec x\not=\vec 0)
$$
であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- [参考ビデオ]（2014年度収録）
- VII
- $A\in M_{m,n}(\mathbf{R})$とします。すなわち$A$が$m\times n$型の行列とします。このとき
$$
{}^tAA\vec x=\vec 0, \vec x\in \mathbf{R}^n\Rightarrow \vec x=\vec 0
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VIII
- $A\in M_{m,3}(\mathbf{R})$とします。すなわち$A$が$m\times 3$型の行列とします。$A=(\vec a\ \vec b\ \vec c)$と列ベクトル表示をします。また$={}^tAA$と定めます。
- (i) $B$が非負定値であること、すなわち
$$
(B\vec x,\vec x)\geq 0\quad (\vec x\in \mathbf{R}^3)
$$
が成立することを示しましょう。
- (2)
$B$が正定値であることと$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$が線型独立であることが必要十分であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IX
- $B\in M_{3}(\mathbf{R})$とします。
- (1) $B$が非負定値であることと$B$の固有値$\alpha,\beta,\gamma$が
$$
\alpha,\beta,\gamma\geq 0
$$
であることが必要十分であることを示しましょう。
- (2) $B$が非負定値であるとき$B$が正定値であることと$\det(B)>0$が必要十分であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- X
- $\vec p_1,\cdots,\vec p_\ell\in\mathbf{K}^n$は正規直交系であるとします。このとき
$\vec q\in\mathbf{K}^n$に対して
$$
P\vec q=<\vec q,\vec p_1>\cdot \vec p_1+\cdots+
<\vec q,\vec p_\ell>\cdot \vec p_\ell
$$
とします。
- (1) $\vec q_1,\vec q_2\in\mathbf{C}^n$に対して
$$
P(\lambda\vec q_1+\mu\vec q_2)
=\lambda P\vec q_1+\mu P\vec q_2
$$
が成立することを示しましょう。
- (2)$P$を行列として表示しましょう。
- (3)（補足問題）$P^*=P$, $P^2=P$が成立することを示しましょう。
（次週に出題する予定です。）
- [解答ビデオ]
- XI
- $Q_1\in U_(n_1)$, $Q_2\in U_(n_2)$に対して
$$
U=
\left(
\begin{array}{c|c}
Q_1&O\\
\hline
O&Q_2
\end{array}
\right)
$$
と定めると$U\in U(n_1+n_2)$が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- XII
-
$A=
\begin{pmatrix}
2&1&2\\
1&2&-2\\
-2&2&1
\end{pmatrix}
$
が正規であることを示して、Unitary 行列で対角化しましょう。
（小テストでは正規であることを示す必要はなかったです。）
- [解答ビデオ]
- XIII
- 補足問題（次週に出題の予定）
- $A\in M_{m_1+m_2}(\mathbf{C})$は正規行列で
$$
A=
\left(
\begin{array}{c|c}
A_{11}&A_{12}\\
\hline
O&A_{22}
\end{array}
\right)
$$
とブロック分けできて$A_{11}\in M_{n_1}(\mathbf{C})$,
$A_{22}\in M_{n_2}(\mathbf{C})$となっているとします。
- (1) $A_{12}=O$が成立することを示しましょう。
- (2) $A_{11}$と$A_{22}$が正規であることを示しましょう。