線型代数学演習問題(第18講義、2015年11月27日)
- I
- $\alpha, \beta, \gamma\in\mathbf{C}$は
$
\alpha\not=\beta,\ \beta\not=\gamma,\ \gamma\not=\alpha
$
を満たすとします。
- (1)
$$
d_1(t)(t-\beta)(t-\gamma)+d_2(t)(t-\alpha)(t-\gamma)+
d_3(t)(t-\alpha)(t-\beta)=1
$$
を満たす$d_1(t),d_2(t),d_3(t)\in\mathbf{K}[t]$を求めましょう。
- (2)
$$
d_1(t)(t-\alpha)^2+d_2(t)(t-\beta)^2=1
$$
を満たす$d_1(t),d_2(t)\in\mathbf{K}[t]$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- II
- $A\in M_n(\mathbf{C})$がある自然数$k$に対して$A^k=O_n$を満たすとします。このとき
$$
\Phi_A(\lambda)=\lambda^n
$$
となることを証明しましょう。
- [解答ビデオ]
- [参考ビデオ]
(現時点で可能な解法がビデオの最後にあります)
- III
- $U\in M_n(\mathbf{C})$はunitaryとします。すなわち
$$
U^*U=UU^*=I_n
$$
を満たすとします。このとき
$$
\Phi_U(\alpha)=0\Rightarrow |\alpha|=1
$$
を示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
- $T:\mathbf{C}^n\rightarrow \mathbf{C}$が線型とします。すなわち
$$
T(\lambda\vec a+\mu\vec b)=\lambda T(\vec a)+\mu T(\vec b)
$$
を満たすとします。このときある$\vec u\in \mathbf{C}^n$がただ一つ存在して
$$
T(\vec v)=<\vec v,\vec u>\quad (\vec v\in\mathbf{C}^n)
$$
が成立します。
- [解答ビデオ]
- V
- (1) $U_1,U_2\in M_n(\mathbf{C})$がunitaryであるとき、
$U_1^*$, $U_1U_2$がunitaryとなることを証明しましょう。
- (2) $\vec p_1,\cdots,\vec p_n$が$\mathbf{C}^n$の正規直交基底とします。$\vec q_1,\cdots,\vec q_n$が別の正規直交基底であるとき
$$
(\vec q_1\ \cdots \vec q_n)=(\vec p_1\ \cdots \vec p_n)U
$$
によって$U\in M_n(\mathbf{C})$を定めると$U$がunitaryとなることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
- $\vec p_1,\cdots,\vec p_n$が$\mathbf{C}^n$の正規直交基底とします。
- (1) 任意の$\vec u\in\mathbf{C}^n$に対して
$$
\vec u=<\vec u,\vec p_1>\vec p_1+\cdots+<\vec u,\vec p_n>\vec p_n
$$
が成立することを示しましょう。
- (2)
$$
<\sum_{j=1}^n\alpha_j\vec p_j, \sum_{k=1}^n\beta_k\vec p_k>
=\alpha_1\bar{\beta_1}+\cdots+\alpha_n\bar{\beta_n}
$$
を示しましょう。
- (3)
$\vec u,\vec v\in\mathbf{C}^n$に対して
$$
<\vec u,\vec v>
=<\vec u,\vec p_1>\cdot \overline{<\vec v,\vec p_1>}+\cdots+
<\vec u,\vec p_n>\cdot \overline{<\vec v,\vec p_n>}
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- $A=
\begin{pmatrix}
3&-1&2\\
-1&6&-1\\
2&-1&3
\end{pmatrix}$
を直交行列によって対角化して、$A$が定める2次形式を簡単にしましょう。
- [解答ビデオ]
- VIII
- $A=
\begin{pmatrix}
4&-2&2\\
-2&1&4\\
2&4&1
\end{pmatrix}$
を直交行列によって対角化して、$A$が定める2次形式を簡単にしましょう。
- [解答ビデオ]