線型代数学演習問題(第18講義、2015年11月27日）

I

$\alpha, \beta, \gamma\in\mathbf{C}$は $ \alpha\not=\beta,\ \beta\not=\gamma,\ \gamma\not=\alpha $ を満たすとします。

(1) $$ d_1(t)(t-\beta)(t-\gamma)+d_2(t)(t-\alpha)(t-\gamma)+ d_3(t)(t-\alpha)(t-\beta)=1 $$ を満たす$d_1(t),d_2(t),d_3(t)\in\mathbf{K}[t]$を求めましょう。

(2) $$ d_1(t)(t-\alpha)^2+d_2(t)(t-\beta)^2=1 $$ を満たす$d_1(t),d_2(t)\in\mathbf{K}[t]$を求めましょう。

[解答ビデオ]

II

$A\in M_n(\mathbf{C})$がある自然数$k$に対して$A^k=O_n$を満たすとします。このとき $$ \Phi_A(\lambda)=\lambda^n $$ となることを証明しましょう。

[解答ビデオ]

[参考ビデオ] （現時点で可能な解法がビデオの最後にあります）

III

$U\in M_n(\mathbf{C})$はunitaryとします。すなわち $$ U^*U=UU^*=I_n $$ を満たすとします。このとき $$ \Phi_U(\alpha)=0\Rightarrow |\alpha|=1 $$ を示しましょう。

[解答ビデオ]

IV

$T:\mathbf{C}^n\rightarrow \mathbf{C}$が線型とします。すなわち $$ T(\lambda\vec a+\mu\vec b)=\lambda T(\vec a)+\mu T(\vec b) $$ を満たすとします。このときある$\vec u\in \mathbf{C}^n$がただ一つ存在して $$ T(\vec v)=<\vec v,\vec u>\quad (\vec v\in\mathbf{C}^n) $$ が成立します。

[解答ビデオ]

V

(1) $U_1,U_2\in M_n(\mathbf{C})$がunitaryであるとき、 $U_1^*$, $U_1U_2$がunitaryとなることを証明しましょう。

(2) $\vec p_1,\cdots,\vec p_n$が$\mathbf{C}^n$の正規直交基底とします。$\vec q_1,\cdots,\vec q_n$が別の正規直交基底であるとき $$ (\vec q_1\ \cdots \vec q_n)=(\vec p_1\ \cdots \vec p_n)U $$ によって$U\in M_n(\mathbf{C})$を定めると$U$がunitaryとなることを示しましょう。

[解答ビデオ]

VI

$\vec p_1,\cdots,\vec p_n$が$\mathbf{C}^n$の正規直交基底とします。

(1) 任意の$\vec u\in\mathbf{C}^n$に対して $$ \vec u=<\vec u,\vec p_1>\vec p_1+\cdots+<\vec u,\vec p_n>\vec p_n $$ が成立することを示しましょう。

(2) $$ <\sum_{j=1}^n\alpha_j\vec p_j, \sum_{k=1}^n\beta_k\vec p_k> =\alpha_1\bar{\beta_1}+\cdots+\alpha_n\bar{\beta_n} $$ を示しましょう。

(3) $\vec u,\vec v\in\mathbf{C}^n$に対して $$ <\vec u,\vec v> =<\vec u,\vec p_1>\cdot \overline{<\vec v,\vec p_1>}+\cdots+ <\vec u,\vec p_n>\cdot \overline{<\vec v,\vec p_n>} $$ が成立することを示しましょう。

[解答ビデオ]

VII

$A= \begin{pmatrix} 3&-1&2\\ -1&6&-1\\ 2&-1&3 \end{pmatrix}$ を直交行列によって対角化して、$A$が定める2次形式を簡単にしましょう。

[解答ビデオ]

VIII

$A= \begin{pmatrix} 4&-2&2\\ -2&1&4\\ 2&4&1 \end{pmatrix}$ を直交行列によって対角化して、$A$が定める2次形式を簡単にしましょう。

[解答ビデオ]