線型代数学演習問題(第17講義、2015年11月24日）

I

$A= \begin{pmatrix} 5&4&-2\\ 4&5&-2\\ -2&-2&2 \end{pmatrix}$ を直交行列によって対角化して、$A$が定める2次形式を簡単にしましょう。

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II

$f\in \mathbf{K}[\lambda]$, $p\in \mathbf{K}[\lambda]$が与えられていて$p\not=0$とします。このとき任意の $f\in\mathbf{K}[\lambda]$に対して $$ \left\{ \begin{array}[rcl] &f=&pq+r\\ &\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(p) \end{array} \right. $$ を満たす$q,r\in\mathbf{K}[\lambda]$が存在することを示しましょう。

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III

$\alpha\not=\beta$とします。 $$ d_1(t)(t-\alpha)+d_2(t)(t-\beta)^2=1 $$ を満たす$d_1(t), d_2(t)\in\mathbf{K}[t]$を求めましょう。

ヒント $$ \frac 1{(t-\alpha)(t-\beta)^2}=\frac A{t-\alpha}+\frac {B+Ct}{(t-\beta)^2} $$ を満たす$A,B,C$を求めましょう。

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IV

$P\in M_n(\mathbf{R})$に対して $$ (P\vec v,P\vec w)=(\vec v,\vec w)\quad (\vec v,\vec w\in \mathbf{R}^n) $$ と $$ ||P\vec v||=||\vec v||\quad (\vec v\in\mathbf{R}^n) $$ が必要十分であることを証明しましょう。

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V

$A= \begin{pmatrix} 3&-1&-1\\ -1&1&-1\\ -1&-1&3 \end{pmatrix}$ を直交行列によって対角化しましょう。

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