線型代数学演習問題(第17講義、2015年11月24日)
- I
- $A=
\begin{pmatrix}
5&4&-2\\
4&5&-2\\
-2&-2&2
\end{pmatrix}$
を直交行列によって対角化して、$A$が定める2次形式を簡単にしましょう。
- [解答ビデオ]
- II
- $f\in \mathbf{K}[\lambda]$,
$p\in \mathbf{K}[\lambda]$が与えられていて$p\not=0$とします。このとき任意の
$f\in\mathbf{K}[\lambda]$に対して
$$
\left\{
\begin{array}[rcl]
&f=&pq+r\\
&\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(p)
\end{array}
\right.
$$
を満たす$q,r\in\mathbf{K}[\lambda]$が存在することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
-
$\alpha\not=\beta$とします。
$$
d_1(t)(t-\alpha)+d_2(t)(t-\beta)^2=1
$$
を満たす$d_1(t), d_2(t)\in\mathbf{K}[t]$を求めましょう。
- ヒント
$$
\frac 1{(t-\alpha)(t-\beta)^2}=\frac A{t-\alpha}+\frac {B+Ct}{(t-\beta)^2}
$$
を満たす$A,B,C$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
- $P\in M_n(\mathbf{R})$に対して
$$
(P\vec v,P\vec w)=(\vec v,\vec w)\quad (\vec v,\vec w\in \mathbf{R}^n)
$$
と
$$
||P\vec v||=||\vec v||\quad (\vec v\in\mathbf{R}^n)
$$
が必要十分であることを証明しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- $A=
\begin{pmatrix}
3&-1&-1\\
-1&1&-1\\
-1&-1&3
\end{pmatrix}$
を直交行列によって対角化しましょう。
- [解答ビデオ]