線型代数学演習問題(2015年11月13日）

10月30日と11月6日に出題したCayley-Hamiltonの定理の問題を必ず学習しましょう。

I

$\mathbf{R}^3$中の部分空間 $$V_1=\{ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbf{R}^3; x-y+z=0\}$$ $$V_2=\{ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbf{R}^3; x+y+z=0\}$$ を考えます。$V_1$に関する鏡映を$Q_1$, $V_2$に関する鏡映を$Q_2$として $$R=Q_1Q_2$$ を考えます。

(1)等式 $$R\frac 1{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} = \frac 1{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$$ を示しましょう。

(2) $\vec p_1=\frac 1{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}$を含む$\mathbf{R}^3$の正規直交基底を求めましょう。（以下$\vec p_1, \vec p_2, \vec p_3$とします。）

(3) $P=(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)$として、座 標変換 $$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} =P\begin{pmatrix}\xi\\\eta\\\zeta\end{pmatrix}$$ を用いて$R$を表しましょう。

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II

(1) $\vec f_1=\frac 1{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ を含む$\mathbf{R}^3$の基底$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3$で $$\det(\vec f_1\ \vec f_2\ \vec f_3)=1$$ を満たすものを求めましょう。

(2) $\vec f_1$を軸として$\frac {\pi}3$回転する行 列を求めましょう。すなわち基底$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3$で表現すると $$\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&\frac 12&-\frac {\sqrt 3}2\\0&\frac {\sqrt 3}2&\frac 12 \end{pmatrix}$$ となる行列を求めましょう。

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III

$A= \begin{pmatrix} 2&1&1\\1&2&1\\1&1&2 \end{pmatrix}$ とします。

(1) $A$の固有ベクトルを求めましょう。

(2) $A$のスペクトル分解を求めましょう。すなわち$\mathbf{K}^3$を$A$の固有空間の直和に表しましょう。

(3) (2) で求めたスペクトル分解において各固有空間への射影を$A$で表しましょう。

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IV

$A= \begin{pmatrix} 15&-5&-6\\5&-2&-3\\27&-9&-10 \end{pmatrix}$ とします。以下では $$\Phi_A(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda+1)$$ であることを用いても構いません。$A$が対角化できないことを示しましょう。

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