線型代数学演習問題(2015年11月13日）
10月30日と11月6日に出題したCayley-Hamiltonの定理の問題を必ず学習しましょう。
- I
-
$\mathbf{R}^3$中の部分空間
$$
V_1=\{
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbf{R}^3;
x-y+z=0\}
$$
$$
V_2=\{
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbf{R}^3;
x+y+z=0\}
$$
を考えます。$V_1$に関する鏡映を$Q_1$, $V_2$に関する鏡映を$Q_2$として
$$
R=Q_1Q_2
$$
を考えます。
- (1)等式
$$
R\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
=
\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
$$
を示しましょう。
- (2)
$\vec p_1=\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
$を含む$\mathbf{R}^3$の正規直交基底を求めましょう。（以下$\vec p_1, \vec
p_2, \vec p_3$とします。）
- (3)
$P=(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)$として、座
標変換
$$
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=P\begin{pmatrix}\xi\\\eta\\\zeta\end{pmatrix}$$を用いて$R$を表しましょう。
- [解答ビデオ]
- II
- (1)
$\vec f_1=\frac 1{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
を含む$\mathbf{R}^3$の基底$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3$で
$$
\det(\vec f_1\ \vec f_2\ \vec f_3)=1
$$
を満たすものを求めましょう。
- (2)
$\vec f_1$を軸として$\frac {\pi}3$回転する行
列を求めましょう。すなわち基底$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3$で表現すると
$$
\begin{pmatrix}
1&0&0\\0&\frac 12&-\frac {\sqrt 3}2\\0&\frac {\sqrt 3}2&\frac 12
\end{pmatrix}
$$
となる行列を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- $A=
\begin{pmatrix}
2&1&1\\1&2&1\\1&1&2
\end{pmatrix}$
とします。
- (1) $A$の固有ベクトルを求めましょう。
- (2) $A$のスペクトル分解を求めましょう。すなわち$\mathbf{K}^3$を$A$の固有空間の直和に表しましょう。
- (3) (2) で求めたスペクトル分解において各固有空間への射影を$A$で表しましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
- $A=
\begin{pmatrix}
15&-5&-6\\5&-2&-3\\27&-9&-10
\end{pmatrix}$
とします。以下では
$$
\Phi_A(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda+1)
$$
であることを用いても構いません。$A$が対角化できないことを示しましょう。
- [解答ビデオ]