線型代数学演習問題(第15講義、2015年11月06日）
- I
- $\mathbf{R}^4$の部分空間
$$
V:=
\left\{
\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix};\
\left(
\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}
\right)=0
\right\}
$$
を定めます。そして$V$の基底を
$$
\vec q_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix},\quad
\vec q_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix},\quad
\vec q_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\\1\end{pmatrix},\quad
$$
と取ります。
- (1) $V_2=\mathbf{R}\vec q_1+\mathbf{R}\vec q_2$の正規直交基底基底を求めましょう。
- (2) $\vec q_2$の$V_2$への直交射影を求めて、$V$の正規直交基底を求めましょう。
- [解答ビデオ](1)・(2)
- II
- $B=
\begin{pmatrix}
2&2&-2\\
1&2&1\\
1&-2&5
\end{pmatrix}$
とします。Cayley-Hamiltonの定理を用いて$B^{-1}$を計算しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
-
$B=
\begin{pmatrix}
1&2&-2\\
1&1&1\\
1&-2&4
\end{pmatrix}$とします。
- (1) $A$の固有多項式が
$$
\Phi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)
$$
であることを示しましょう。
- (2)直和分解
$$
\mathbf{K}^3=V(1)\oplus V(2)\oplus V(3)
$$
において$\vec v\in\mathbf{K}^3$を
$$
\vec v=\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3
$$
と直和分解（スペクトル分解）するとき
$$
f_i(A)\vec v=\vec v_i\quad (i=1,2,3)
$$
となる多項式$f_i(\lambda)\in\mathbf{K}[\lambda]$を求めましょう。
- (3) (2)を用いて$B^n$を$B^2$, $B$, $I_3$で表しましょう。
- [解答ビデオ](1)
・(2)
・(3)
- IV
- $a_{n-1}, a_{n-2},\cdots,a_1,a_0\in\mathbf{R}$とします。
$$
f(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0
$$
に対して
$$
f(\alpha)=0\Rightarrow f(\bar{\alpha})=0
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- $\vec q_1:=\frac 1{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$とします。
$$
V:=\{\vec v\in \mathbf{R}^3;\ (\vec v,\vec q_1)=0\}
$$
と2次元の部分空間を定めます。このとき$\vec x\in\mathbf{R}^3$の$V$への正射影$P\vec x$は
$$
P\vec x\in V,\quad \vec x-P\vec x\perp \vec q_1
$$
で定まります。
- (1) $P$を行列で表しましょう。
- (2)$V$に関する鏡映
$$
Q\vec x=\vec x+2(P\vec x-\vec x)
$$
で定まる$Q$を行列で表しましょう。
- [解答ビデオ(1)]
・
[解答ビデオ(2)]
- VI
- 3次の直交群
$$
O(3):=\{P\in M_3(\mathbf{R});\ {}^tPP=P{}^tP=I_3\}
$$
に対して以下を示しましょう。
- (1)$P_1, P_2\in O(3)$ならば$P_1P_2\in O(3)$を示しましょう。
- (2)$P\in O(3)$ならば${}^tP\in O(3)$を示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- $A$の$(3,3)$成分が間違ってました。
-
$A=
\begin{pmatrix}
4&0&6\\
3&1&6\\
-3&0&\color{red}{-5}
\end{pmatrix}$
が対角化可能であることを示して、$\mathbf{K}^3$をスペクトル分解せよ（固有空間の直和で表す）。さらに各固有空間への射影を$A$で表わせ。
- [解答ビデオ]
- VIII
- $A=
\begin{pmatrix}
3&-1&-2\\
-1&3&2\\
-2&2&6
\end{pmatrix}$
を
$$
||\vec p_1||=||\vec p_2||=||\vec p_3||=1,\ (\vec p_i,\vec p_j)=0\ (i\not=j)
$$
を満たす$P=(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)$を用いて対角化しましょう。
- [解答ビデオ]
- IX
- $A_1\in M_{n_1}(\mathbf{K})$, $A_2\in M_{n_2}(\mathbf{K})$に対して
$$
A=
\begin{pmatrix}
A_1&*\\O&A_2
\end{pmatrix}
\in M_{n_1+n_2}
$$
を定めます。このとき
$$
\Phi_{A}(\lambda)=\Phi_{A_1}(\lambda)\Phi_{A_2}(\lambda)
$$
を示しましょう。
- [解答ビデオ]
- X
- 教科書第8章の218ページにある
$$
A=
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
2&1&3\\
3&3&6
\end{pmatrix}
$$
によって$\mathbf{K}^3$を
$$
\mathbf{K}^3=V(-1)\oplus V(0)\oplus V(9)
$$
とスペクトル分解します。任意の$\mathbf{K}^3$に対してこの分解に応じて
$$
\vec v=\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3
$$
と分解するとき
$$
P_j\vec v=v_j\quad (j=1,2,3)
$$
と$P_j\in M_3(\mathbf{K})$を用いて表されました。このとき
$$
P_1+P_2+P_3=I_3,\ P_j^2=P_j\ (j=1,2,3),\ P_iP_j=O_3\ (i\not=j)
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]