線型代数演習問題(2015年10月30日）

0

$A= \begin{pmatrix} 3&-1&-2\\ -1&3&2\\ -2&2&6 \end{pmatrix}$ を対角化しましょう。

[解答ビデオ]

I

$A= \begin{pmatrix} 9&2&-4\\ -4&3&4\\ 2&2&3 \end{pmatrix}$ とします。Cayley-Hamiltonの定理を用いて$A^n$を計算しましょう。

[解答ビデオ]

II

$A\in M_3(\mathbf{C})$が$\det(A)\not=0$を満たします。 $$ \Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha_1)(\lambda-\alpha_2)(\lambda-\alpha_3) $$ のとき$\Phi_{A^{-1}}(\lambda)$を求めましょう。

[解答ビデオ]

III

$f(\lambda)\in\mathbf{K}[\lambda]$とします。$A\in M_3(\mathbf{K})$があって $$ \Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha_1)(\lambda-\alpha_2)(\lambda-\alpha_3) $$ を$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbf{K}$に対して満たします。このとき $$ \Phi_{f(A)}(\lambda) $$ を求めましょう。

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IV

$A= \begin{pmatrix} 6&-3&-7\\ -1&2&1\\ 5&-3&-6 \end{pmatrix}$ に対して以下を示しましょう。

(1)$\Phi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-2)$

(2)$V(-1)\oplus V(1)\oplus V(2)=\mathbf{K}^3$

(3)各固有空間$V(\alpha)$に対して$\mathbf{K}^3$から$V(\alpha)$への射影を$A$で表しましょう。

[解答ビデオ(1)]・ [解答ビデオ(2)]・ [解答ビデオ(3)]

V

$A= \begin{pmatrix} 4&4&-2\\ 4&4&-2\\ -2&-2&1 \end{pmatrix}$ を対角化しましょう。

[解答ビデオ]

VI

$V_1$, $V_2$, $V_3$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$ V_i\perp V_j\quad (i\not=j) $$ ならば $$ V_1\oplus V_2\oplus V_3 $$ となることを示しましょう。

[解答ビデオ]

VII

$V_1$, $V_2$, $V_3$は$\mathbf{K}^n$の部分空間とします。 $$ V_1\oplus V_2\oplus V_3 $$ ならば $$ \dim(V_1\oplus V_2\oplus V_3)=\dim V_1+\dim V_2+\dim V_3 $$ となることを示しましょう。

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VIII

$A\in M_n(\mathbf{K})$とします。

(1) $A^2=O_n$ならば$I+A$が正則であることを示しましょう。

(2) $A^r=O_n$ ($r\geq 1$)ならば$I+A$が正則であることを示しましょう。

[解答ビデオ]

IX

$A\in M_n(\mathbf{K})$が$A^2=A$を満たすとします。

(1) $\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{ker}(A)$が成立することを示しましょう。

(2) $\mathbf{K}^n=\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{Im}(I-A)$が成立することを示しましょう。

(3)$\mathbf{K}^n=\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{ker}(A)$

[解答ビデオ] (1)・(2)・(3)