線型代数演習問題(2015年10月30日)
- 0
- $A=
\begin{pmatrix}
3&-1&-2\\
-1&3&2\\
-2&2&6
\end{pmatrix}$
を対角化しましょう。
- [解答ビデオ]
- I
- $A=
\begin{pmatrix}
9&2&-4\\
-4&3&4\\
2&2&3
\end{pmatrix}$
とします。Cayley-Hamiltonの定理を用いて$A^n$を計算しましょう。
- [解答ビデオ]
- II
- $A\in M_3(\mathbf{C})$が$\det(A)\not=0$を満たします。
$$
\Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha_1)(\lambda-\alpha_2)(\lambda-\alpha_3)
$$
のとき$\Phi_{A^{-1}}(\lambda)$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- $f(\lambda)\in\mathbf{K}[\lambda]$とします。$A\in M_3(\mathbf{K})$があって
$$
\Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha_1)(\lambda-\alpha_2)(\lambda-\alpha_3)
$$
を$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbf{K}$に対して満たします。このとき
$$
\Phi_{f(A)}(\lambda)
$$
を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
-
$A=
\begin{pmatrix}
6&-3&-7\\
-1&2&1\\
5&-3&-6
\end{pmatrix}$
に対して以下を示しましょう。
- (1)$\Phi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-2)$
- (2)$V(-1)\oplus V(1)\oplus V(2)=\mathbf{K}^3$
- (3)各固有空間$V(\alpha)$に対して$\mathbf{K}^3$から$V(\alpha)$への射影を$A$で表しましょう。
- [解答ビデオ(1)]・
[解答ビデオ(2)]・
[解答ビデオ(3)]
- V
-
$A=
\begin{pmatrix}
4&4&-2\\
4&4&-2\\
-2&-2&1
\end{pmatrix}$
を対角化しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
- $V_1$, $V_2$, $V_3$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。
$$
V_i\perp V_j\quad (i\not=j)
$$
ならば
$$
V_1\oplus V_2\oplus V_3
$$
となることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- $V_1$, $V_2$, $V_3$は$\mathbf{K}^n$の部分空間とします。
$$
V_1\oplus V_2\oplus V_3
$$
ならば
$$
\dim(V_1\oplus V_2\oplus V_3)=\dim V_1+\dim V_2+\dim V_3
$$
となることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VIII
-
$A\in M_n(\mathbf{K})$とします。
- (1) $A^2=O_n$ならば$I+A$が正則であることを示しましょう。
- (2) $A^r=O_n$ ($r\geq 1$)ならば$I+A$が正則であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IX
-
$A\in M_n(\mathbf{K})$が$A^2=A$を満たすとします。
- (1) $\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{ker}(A)$が成立することを示しましょう。
- (2) $\mathbf{K}^n=\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{Im}(I-A)$が成立することを示しましょう。
- (3)$\mathbf{K}^n=\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{ker}(A)$
- [解答ビデオ]
(1)・(2)・(3)