線型代数演習問題(2015年10月09日)
- 0(教科書の演習4.19)
- 次の行列式の値を求めましょう。
- (1)
$\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
1&2&3&4\\
1&3&6&10\\
1&4&10&20
\end{vmatrix}$
(2)
$\begin{vmatrix}
7&13&10&6\\
4&10&6&3\\
8&12&11&7\\
19&35&27&16
\end{vmatrix}$
(4)
$\begin{vmatrix}
-8&-10&7&-9\\
0&2&0&0\\
-9&-9&8&-9\\
1&1&-1&2
\end{vmatrix}$
- [解答ビデオ]
- I
- $$
\frac {b+c}a=\frac {c+13a}b=\frac {a-b}c
$$
が成立します。この式の値を$3$次の行列式を用いて求めましょう。
- [解答ビデオ](前半)
・(後半)
- II
-
$V\subset\mathbf{R}^n$は部分空間とします。
$$
V^\perp=\{\vec w\in\mathbf{R}^n; (\vec v,\vec w)=0\ (\vec v\in V)\}
$$
は$\mathbf{R}^n$の部分空間です。($V$の直交補空間と呼びます。)
- (1)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。
$$
V_1\subset V_2
$$
が成立するならば$V_1^\perp\supset V_2^\perp$が成立することを示しましょう。
- (2)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。
$$
(V_1+V_2)^\perp\subset V_j^\perp\ (j=1,2)
$$
を示しましょう。
- (3)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。
$$
(V_1+V_2)^\perp =V_1^\perp\cap V_2^\perp
$$
であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- $A$を$m\times n$行列として$A$が定める線型写像を
$$
f_A:\ \mathbf{K}^n\rightarrow \mathbf{K}^m\quad \vec v\mapsto A\vec v
$$
と表します。
- (1)$V$は$\mathbf{K}^n$の部分空間とします。このとき
$$
AV:=f_A(V)=\{A\vec v\in \mathbf{K}^m; \vec v\in V\}
$$
が$\mathbf{K}^m$の部分空間であることを示しましょう。
- (2)$W$は$\mathbf{K}^m$の部分空間とします。このとき
$$
f^{-1}_A(W)=\{\vec v\in \mathbf{K}^n; A\vec v\in W\}
$$
が$\mathbf{K}^n$の部分空間であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
- $A$は$\ell\times m$行列、$B$は$m\times n$行列とします。
- (1)
$$
\mathrm{rank}(AB)\leq \mathrm{rank}(A),\quad
\mathrm{rank}(AB)\leq \mathrm{rank}(B)
$$
であることを証明しましょう。
- (2)$AB=O$が成立するならば
$$
\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\leq m
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- 一般に
$$
\frac d{dt}\begin{pmatrix}a_1(t)\\a_2(t)\\a_3(t)\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a'_1(t)\\a'_2(t)\\a'_3(t)\end{pmatrix}
$$
と定めます。$\vec a(t),\vec b(t),\vec c(t)$が$\mathbf{R}^3$値のとき
$$
\frac d{dt}
\begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}\frac d{dt}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}\vec a(t)&\frac d{dt}\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\frac d{dt}\vec c(t)\end{vmatrix}
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
-
-
$A\in M_3(\mathbf{R})$に対して
$$
\Phi_A(t)=\det(tI_3-A)
$$
と定めます。このとき$\Phi_A'(0)$と$\Phi''_A(0)$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- 次の等式を満たす$\lambda\in \mathbf{C}$を求めましょう。
(1)
$
\begin{vmatrix}
\lambda&1&0&\lambda\\
0&\lambda&\lambda&1\\
1&\lambda&\lambda&0\\
\lambda&0&1&\lambda
\end{vmatrix}
=0
$
(2)
$
\begin{vmatrix}
\lambda&1&0&0\\
0&\lambda&1&0\\
0&0&\lambda&1\\
1&0&0&\lambda
\end{vmatrix}
=0
$
- [解答ビデオ]
- VIII
-
$A\in M_3(\mathbf{Z})$とします。すなわち$A=(a_{ij})$とするとき
$$
a_{ij}\in \mathbf{Z}
$$
が成立するとします。$A$が正則であると仮定すると
$$
A^{-1}\in M_{3}(\mathbf{Z})\Leftrightarrow
|A|=\pm 1
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IX
- (1)
$$
\begin{vmatrix}
a&b&c\\
c&a&b\\
b&c&a
\end{vmatrix}
=a^3+b^3+c^3-3abc
$$
を示しましょう。
- (2)
$$
(a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz)
=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma
$$
を示しましょう。ただし
$$
\alpha=ax+by+cz,\quad \beta=ay+bz+cx,\quad \gamma=az+bx+cy
$$
とします。
- [解答ビデオ](1)・
(2)