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線型代数演習問題(2015年10月09日)
- 0(教科書の演習4.19)
- 次の行列式の値を求めましょう。
- (1)
|1111123413610141020|
(2)
|7131064106381211719352716|
(4)
|−8−107−90200−9−98−911−12|
- [解答ビデオ]
- I
- b+ca=c+13ab=a−bc
が成立します。この式の値を3次の行列式を用いて求めましょう。
- [解答ビデオ](前半)
・(後半)
- II
-
V⊂Rnは部分空間とします。
V⊥={→w∈Rn;(→v,→w)=0 (→v∈V)}
はRnの部分空間です。(Vの直交補空間と呼びます。)
- (1)V1, V2はRnの部分空間とします。
V1⊂V2
が成立するならばV⊥1⊃V⊥2が成立することを示しましょう。
- (2)V1, V2はRnの部分空間とします。
(V1+V2)⊥⊂V⊥j (j=1,2)
を示しましょう。
- (3)V1, V2はRnの部分空間とします。
(V1+V2)⊥=V⊥1∩V⊥2
であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- Aをm×n行列としてAが定める線型写像を
fA: Kn→Km→v↦A→v
と表します。
- (1)VはKnの部分空間とします。このとき
AV:=fA(V)={A→v∈Km;→v∈V}
がKmの部分空間であることを示しましょう。
- (2)WはKmの部分空間とします。このとき
f−1A(W)={→v∈Kn;A→v∈W}
がKnの部分空間であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
- Aはℓ×m行列、Bはm×n行列とします。
- (1)
rank(AB)≤rank(A),rank(AB)≤rank(B)
であることを証明しましょう。
- (2)AB=Oが成立するならば
rank(A)+rank(B)≤m
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- 一般に
ddt(a1(t)a2(t)a3(t))=(a′1(t)a′2(t)a′3(t))
と定めます。→a(t),→b(t),→c(t)がR3値のとき
ddt|→a(t)→b(t)→c(t)|=|ddt→a(t)→b(t)→c(t)|+|→a(t)ddt→b(t)→c(t)|+|→a(t)→b(t)ddt→c(t)|
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
-
-
A∈M3(R)に対して
ΦA(t)=det(tI3−A)
と定めます。このときΦ′A(0)とΦA″を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- 次の等式を満たす\lambda\in \mathbf{C}を求めましょう。
(1)
\begin{vmatrix}
\lambda&1&0&\lambda\\
0&\lambda&\lambda&1\\
1&\lambda&\lambda&0\\
\lambda&0&1&\lambda
\end{vmatrix}
=0
(2)
\begin{vmatrix}
\lambda&1&0&0\\
0&\lambda&1&0\\
0&0&\lambda&1\\
1&0&0&\lambda
\end{vmatrix}
=0
- [解答ビデオ]
- VIII
-
A\in M_3(\mathbf{Z})とします。すなわちA=(a_{ij})とするとき
a_{ij}\in \mathbf{Z}
が成立するとします。Aが正則であると仮定すると
A^{-1}\in M_{3}(\mathbf{Z})\Leftrightarrow
|A|=\pm 1
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IX
- (1)
\begin{vmatrix}
a&b&c\\
c&a&b\\
b&c&a
\end{vmatrix}
=a^3+b^3+c^3-3abc
を示しましょう。
- (2)
(a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz)
=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma
を示しましょう。ただし
\alpha=ax+by+cz,\quad \beta=ay+bz+cx,\quad \gamma=az+bx+cy
とします。
- [解答ビデオ](1)・
(2)