線型代数演習問題(2015年10月09日）

0（教科書の演習4.19）: 次の行列式の値を求めましょう。; (1) $\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&3&4\\ 1&3&6&10\\ 1&4&10&20 \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} 7&13&10&6\\ 4&10&6&3\\ 8&12&11&7\\ 19&35&27&16 \end{vmatrix}$ (4) $\begin{vmatrix} -8&-10&7&-9\\ 0&2&0&0\\ -9&-9&8&-9\\ 1&1&-1&2 \end{vmatrix}$; [解答ビデオ]
I: $$ \frac {b+c}a=\frac {c+13a}b=\frac {a-b}c $$ が成立します。この式の値を$3$次の行列式を用いて求めましょう。; [解答ビデオ]（前半）・（後半）
II: $V\subset\mathbf{R}^n$は部分空間とします。 $$ V^\perp=\{\vec w\in\mathbf{R}^n; (\vec v,\vec w)=0\ (\vec v\in V)\} $$ は$\mathbf{R}^n$の部分空間です。（$V$の直交補空間と呼びます。）; (1)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$ V_1\subset V_2 $$ が成立するならば$V_1^\perp\supset V_2^\perp$が成立することを示しましょう。; (2)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$ (V_1+V_2)^\perp\subset V_j^\perp\ (j=1,2) $$ を示しましょう。; (3)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$ (V_1+V_2)^\perp =V_1^\perp\cap V_2^\perp $$ であることを示しましょう。; [解答ビデオ]
III: $A$を$m\times n$行列として$A$が定める線型写像を $$ f_A:\ \mathbf{K}^n\rightarrow \mathbf{K}^m\quad \vec v\mapsto A\vec v $$ と表します。; (1)$V$は$\mathbf{K}^n$の部分空間とします。このとき $$ AV:=f_A(V)=\{A\vec v\in \mathbf{K}^m; \vec v\in V\} $$ が$\mathbf{K}^m$の部分空間であることを示しましょう。; (2)$W$は$\mathbf{K}^m$の部分空間とします。このとき $$ f^{-1}_A(W)=\{\vec v\in \mathbf{K}^n; A\vec v\in W\} $$ が$\mathbf{K}^n$の部分空間であることを示しましょう。; [解答ビデオ]
IV: $A$は$\ell\times m$行列、$B$は$m\times n$行列とします。; (1) $$ \mathrm{rank}(AB)\leq \mathrm{rank}(A),\quad \mathrm{rank}(AB)\leq \mathrm{rank}(B) $$ であることを証明しましょう。; (2)$AB=O$が成立するならば $$ \mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\leq m $$ が成立することを示しましょう。; [解答ビデオ]
V: 一般に $$ \frac d{dt}\begin{pmatrix}a_1(t)\\a_2(t)\\a_3(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a'_1(t)\\a'_2(t)\\a'_3(t)\end{pmatrix} $$ と定めます。$\vec a(t),\vec b(t),\vec c(t)$が$\mathbf{R}^3$値のとき $$ \frac d{dt} \begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\frac d{dt}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\vec a(t)&\frac d{dt}\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\frac d{dt}\vec c(t)\end{vmatrix} $$ が成立することを示しましょう。; [解答ビデオ]
VI: $A\in M_3(\mathbf{R})$に対して $$ \Phi_A(t)=\det(tI_3-A) $$ と定めます。このとき$\Phi_A'(0)$と$\Phi''_A(0)$を求めましょう。; [解答ビデオ]
VII: 次の等式を満たす$\lambda\in \mathbf{C}$を求めましょう。; [解答ビデオ]
VIII: $A\in M_3(\mathbf{Z})$とします。すなわち$A=(a_{ij})$とするとき $$ a_{ij}\in \mathbf{Z} $$ が成立するとします。$A$が正則であると仮定すると $$ A^{-1}\in M_{3}(\mathbf{Z})\Leftrightarrow |A|=\pm 1 $$ が成立することを示しましょう。; [解答ビデオ]
IX: (1) $$ \begin{vmatrix} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{vmatrix} =a^3+b^3+c^3-3abc $$ を示しましょう。; (2) $$ (a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz) =\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma $$ を示しましょう。ただし $$ \alpha=ax+by+cz,\quad \beta=ay+bz+cx,\quad \gamma=az+bx+cy $$ とします。; [解答ビデオ](1)・ (2)