線型代数演習問題(2015年10月09日）

0（教科書の演習4.19）

次の行列式の値を求めましょう。

(1) $\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&3&4\\ 1&3&6&10\\ 1&4&10&20 \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} 7&13&10&6\\ 4&10&6&3\\ 8&12&11&7\\ 19&35&27&16 \end{vmatrix}$ (4) $\begin{vmatrix} -8&-10&7&-9\\ 0&2&0&0\\ -9&-9&8&-9\\ 1&1&-1&2 \end{vmatrix}$

[解答ビデオ]

I

$$\frac {b+c}a=\frac {c+13a}b=\frac {a-b}c$$ が成立します。この式の値を$3$次の行列式を用いて求めましょう。

[解答ビデオ]（前半） ・（後半）

II

$V\subset\mathbf{R}^n$は部分空間とします。 $$V^\perp=\{\vec w\in\mathbf{R}^n; (\vec v,\vec w)=0\ (\vec v\in V)\}$$ は$\mathbf{R}^n$の部分空間です。（$V$の直交補空間と呼びます。）

(1)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$V_1\subset V_2$$ が成立するならば$V_1^\perp\supset V_2^\perp$が成立することを示しましょう。

(2)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$(V_1+V_2)^\perp\subset V_j^\perp\ (j=1,2)$$ を示しましょう。

(3)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$(V_1+V_2)^\perp =V_1^\perp\cap V_2^\perp$$ であることを示しましょう。

[解答ビデオ]

III

$A$を$m\times n$行列として$A$が定める線型写像を $$f_A:\ \mathbf{K}^n\rightarrow \mathbf{K}^m\quad \vec v\mapsto A\vec v$$ と表します。

(1)$V$は$\mathbf{K}^n$の部分空間とします。このとき $$AV:=f_A(V)=\{A\vec v\in \mathbf{K}^m; \vec v\in V\}$$ が$\mathbf{K}^m$の部分空間であることを示しましょう。

(2)$W$は$\mathbf{K}^m$の部分空間とします。このとき $$f^{-1}_A(W)=\{\vec v\in \mathbf{K}^n; A\vec v\in W\}$$ が$\mathbf{K}^n$の部分空間であることを示しましょう。

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IV

$A$は$\ell\times m$行列、$B$は$m\times n$行列とします。

(1) $$\mathrm{rank}(AB)\leq \mathrm{rank}(A),\quad \mathrm{rank}(AB)\leq \mathrm{rank}(B)$$ であることを証明しましょう。

(2)$AB=O$が成立するならば $$\mathrm{rank}(A)+\mathrm{rank}(B)\leq m$$ が成立することを示しましょう。

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V

一般に $$\frac d{dt}\begin{pmatrix}a_1(t)\\a_2(t)\\a_3(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a'_1(t)\\a'_2(t)\\a'_3(t)\end{pmatrix}$$ と定めます。$\vec a(t),\vec b(t),\vec c(t)$が$\mathbf{R}^3$値のとき $$\frac d{dt} \begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\frac d{dt}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\vec a(t)&\frac d{dt}\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\frac d{dt}\vec c(t)\end{vmatrix}$$ が成立することを示しましょう。

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VI

$A\in M_3(\mathbf{R})$に対して $$\Phi_A(t)=\det(tI_3-A)$$ と定めます。このとき$\Phi_A'(0)$と$\Phi''_A(0)$を求めましょう。

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VII

次の等式を満たす$\lambda\in \mathbf{C}$を求めましょう。

(1) $\begin{vmatrix} \lambda&1&0&\lambda\\ 0&\lambda&\lambda&1\\ 1&\lambda&\lambda&0\\ \lambda&0&1&\lambda \end{vmatrix} =0$ (2) $\begin{vmatrix} \lambda&1&0&0\\ 0&\lambda&1&0\\ 0&0&\lambda&1\\ 1&0&0&\lambda \end{vmatrix} =0$

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VIII

$A\in M_3(\mathbf{Z})$とします。すなわち$A=(a_{ij})$とするとき $$a_{ij}\in \mathbf{Z}$$ が成立するとします。$A$が正則であると仮定すると $$A^{-1}\in M_{3}(\mathbf{Z})\Leftrightarrow |A|=\pm 1$$ が成立することを示しましょう。

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IX

(1) $$\begin{vmatrix} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{vmatrix} =a^3+b^3+c^3-3abc$$ を示しましょう。

(2) $$(a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz) =\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma$$ を示しましょう。ただし $$\alpha=ax+by+cz,\quad \beta=ay+bz+cx,\quad \gamma=az+bx+cy$$ とします。

[解答ビデオ](1)・ (2)