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線型代数演習問題(2015年10月09日)

0(教科書の演習4.19)
次の行列式の値を求めましょう。
(1) |1111123413610141020| (2) |7131064106381211719352716| (4) |81079020099891112|
[解答ビデオ]
I
b+ca=c+13ab=abc が成立します。この式の値を3次の行列式を用いて求めましょう。
[解答ビデオ](前半)(後半)
II
VRnは部分空間とします。 V={wRn;(v,w)=0 (vV)}Rnの部分空間です。(Vの直交補空間と呼びます。)
(1)V1, V2Rnの部分空間とします。 V1V2 が成立するならばV1V2が成立することを示しましょう。
(2)V1, V2Rnの部分空間とします。 (V1+V2)Vj (j=1,2) を示しましょう。
(3)V1, V2Rnの部分空間とします。 (V1+V2)=V1V2 であることを示しましょう。
[解答ビデオ]
III
Am×n行列としてAが定める線型写像を fA: KnKmvAv と表します。
(1)VKnの部分空間とします。このとき AV:=fA(V)={AvKm;vV}Kmの部分空間であることを示しましょう。
(2)WKmの部分空間とします。このとき f1A(W)={vKn;AvW}Knの部分空間であることを示しましょう。
[解答ビデオ]
IV
A×m行列、Bm×n行列とします。
(1) rank(AB)rank(A),rank(AB)rank(B) であることを証明しましょう。
(2)AB=Oが成立するならば rank(A)+rank(B)m が成立することを示しましょう。
[解答ビデオ]
V
一般に ddt(a1(t)a2(t)a3(t))=(a1(t)a2(t)a3(t)) と定めます。a(t),b(t),c(t)R3値のとき ddt|a(t)b(t)c(t)|=|ddta(t)b(t)c(t)|+|a(t)ddtb(t)c(t)|+|a(t)b(t)ddtc(t)| が成立することを示しましょう。
[解答ビデオ]
VI
AM3(R)に対して ΦA(t)=det(tI3A) と定めます。このときΦA(0)ΦAを求めましょう。
[解答ビデオ]
VII
次の等式を満たす\lambda\in \mathbf{C}を求めましょう。
(1) \begin{vmatrix} \lambda&1&0&\lambda\\ 0&\lambda&\lambda&1\\ 1&\lambda&\lambda&0\\ \lambda&0&1&\lambda \end{vmatrix} =0 (2) \begin{vmatrix} \lambda&1&0&0\\ 0&\lambda&1&0\\ 0&0&\lambda&1\\ 1&0&0&\lambda \end{vmatrix} =0
[解答ビデオ]
VIII
A\in M_3(\mathbf{Z})とします。すなわちA=(a_{ij})とするとき a_{ij}\in \mathbf{Z} が成立するとします。Aが正則であると仮定すると A^{-1}\in M_{3}(\mathbf{Z})\Leftrightarrow |A|=\pm 1 が成立することを示しましょう。
[解答ビデオ]
IX
(1) \begin{vmatrix} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{vmatrix} =a^3+b^3+c^3-3abc を示しましょう。
(2) (a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz) =\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma を示しましょう。ただし \alpha=ax+by+cz,\quad \beta=ay+bz+cx,\quad \gamma=az+bx+cy とします。
[解答ビデオ](1)(2)