数学II演習問題(2015年10月02日）
- 0
- 次の行列式の値を求めよ。
- (1)
$\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
1&3&1&1\\
1&1&3&1\\
1&1&1&3
\end{vmatrix}$
(2)
$\begin{vmatrix}
1&1&1&0&0\\
0&1&1&1&0\\
0&0&1&1&1\\
1&0&0&1&1\\
1&1&0&0&1
\end{vmatrix}$
(3)
$\begin{vmatrix}
2&1&0&0\\
1&2&1&0\\
0&1&2&1\\
0&0&1&2
\end{vmatrix}$
(4)
$\begin{vmatrix}
1&4&6&4&1\\
4&17&27&19&5\\
6&27&46&35&10\\
4&19&35&30&10\\
1&5&10&10&5
\end{vmatrix}$
- [解答ビデオ]
- I
- 次の置換$a$を循環置換の積で表して、さらに互換の積で表しましょう。
- (1)
$
a=\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
2&8&5&1&3&9&6&4&7
\end{pmatrix}
$
- (2)
$
a=\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
5&6&2&9&7&1&4&3&8
\end{pmatrix}
$
- [解答ビデオ]
- II
-
$\vec a\in \mathbf{R}^3$は
$\vec a={}^t(a_1\ a_2\ a_3)\not=\vec 0$を満たすとします。
$\det(I_3+\vec a\cdot {}^t\vec a)$を計算しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- 次の行列式を計算しましょう。
-
(1)
$\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
a&b&c&d\\
a^2&b^2&c^2&d^2\\
a^3&b^3&c^3&d^3
\end{vmatrix}$
(2)
$\begin{vmatrix}
a&1&1&1\\
1&a&1&1\\
1&1&a&1\\
1&1&1&a
\end{vmatrix}$
- [解答ビデオ](1)・
(2)
- IV
-
$n$次正方行列$A=(\vec a_1\ \vec a_2\ \cdots\ \vec a_n)$において
$$
v_1\vec a_1+\cdots+v_n\vec a_n=\vec 0,\quad
v_n\not=0
$$
が成立します。このとき
$$
\det(A)=0
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- 座標平面上の$3$点$(x_i,y_i)\ (i=1,2,3)$が同一直線上に
あるための必要十分条件が
$$
\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}=0
$$
であることを証明しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
- 写像
$$
\varphi_1:\ S_n\longrightarrow \sigma\mapsto \sigma^{-1}
$$
が単射であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- $\tau\in S_n$であるとき、写像
$$
\varphi_2:\ S_n\longrightarrow \sigma\mapsto \sigma\cdot\tau^{-1}
$$
が単射であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]