数学II演習問題(第9講、2015年09月25日）

I

$$a= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 4&3&1&2 \end{pmatrix},\quad b= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 2&1&4&3 \end{pmatrix}$$ とに対して積$ab$と$ba$を求めましょう。

[解答ビデオ]

II

$ a=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6\\ 4&6&2&3&1&5 \end{pmatrix} $に対して$a^{-1}$を求めましょう。

[解答ビデオ]

III

$S_3$のすべての要素を互換の積で表しましょう。

[解答ビデオ]

IV

２つの写像 $$ f:\ X\rightarrow Y,\quad g:\ Y\rightarrow Z $$ があるとします。このとき以下を示しましょう。

(1) $f$と$g$ともに全射ならば$g\circ f$も全射である。

(1)' $f$と$g$ともに単射ならば$g\circ f$も単射である。

(2) $g\circ f$が全射であるならば、$g$も全射である。

(3) $g\circ f$が単射であるならば、$f$も単射である。

[解答ビデオ] （(1),(2),(3)）

[解答ビデオ] （(1)'）

V

次の置換の符号を求めよ。

(1) $ a=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\ 2&5&4&3&1 \end{pmatrix} $ (2) $ a=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5\\ 2&3&5&1&4 \end{pmatrix} $

[解答ビデオ]V(1)+VI(1)

[解答ビデオ]V(2)+VI(2)

VI

Vの(1), (2)の$a$を互換の積で表しましょう．

[解答ビデオ]はVにあります。

VII

$f\in S_n$に対して $$ f^\#: \Omega_n\rightarrow \Omega_n \quad \{i,j\}\mapsto\{f(i),f(j)\} $$ が全単射であることを示しましょう。ただし次の定理を用いて、単射であること を示せば十分です。

定理　$X$を有限集合とします．このとき$f:X\rightarrow X$に 対して $$ f\text{は単射である}\Leftrightarrow f\text{は全射である} $$

[解答ビデオ]

VIII （次回のIとします。）

次の置換$a$を循環置換の積で表して、さらに互換の積で表しましょう。

(1) $ a=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 2&8&5&1&3&9&6&4&7 \end{pmatrix} $

(2) $ a=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 5&6&2&9&7&1&4&3&8 \end{pmatrix} $