数学II演習問題(第9講、2015年09月25日)
- I
- $$a=
\begin{pmatrix}
1&2&3&4\\
4&3&1&2
\end{pmatrix},\quad
b=
\begin{pmatrix}
1&2&3&4\\
2&1&4&3
\end{pmatrix}$$
とに対して積$ab$と$ba$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- II
- $
a=\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6\\
4&6&2&3&1&5
\end{pmatrix}
$に対して$a^{-1}$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- $S_3$のすべての要素を互換の積で表しましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
- 2つの写像
$$
f:\ X\rightarrow Y,\quad g:\ Y\rightarrow Z
$$
があるとします。このとき以下を示しましょう。
- (1) $f$と$g$ともに全射ならば$g\circ f$も全射である。
- (1)' $f$と$g$ともに単射ならば$g\circ f$も単射である。
- (2) $g\circ f$が全射であるならば、$g$も全射である。
- (3) $g\circ f$が単射であるならば、$f$も単射である。
- [解答ビデオ]
((1),(2),(3))
- [解答ビデオ]
((1)')
- V
- 次の置換の符号を求めよ。
- (1)
$
a=\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5\\
2&5&4&3&1
\end{pmatrix}
$
(2)
$
a=\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5\\
2&3&5&1&4
\end{pmatrix}
$
- [解答ビデオ]V(1)+VI(1)
- [解答ビデオ]V(2)+VI(2)
- VI
- Vの(1), (2)の$a$を互換の積で表しましょう.
- [解答ビデオ]はVにあります。
- VII
- $f\in S_n$に対して
$$
f^\#: \Omega_n\rightarrow \Omega_n
\quad \{i,j\}\mapsto\{f(i),f(j)\}
$$
が全単射であることを示しましょう。ただし次の定理を用いて、単射であること
を示せば十分です。
- 定理 $X$を有限集合とします.このとき$f:X\rightarrow X$に
対して
$$
f\text{は単射である}\Leftrightarrow f\text{は全射である}
$$
- [解答ビデオ]
- VIII
(次回のIとします。)
- 次の置換$a$を循環置換の積で表して、さらに互換の積で表しましょう。
- (1)
$
a=\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
2&8&5&1&3&9&6&4&7
\end{pmatrix}
$
- (2)
$
a=\begin{pmatrix}
1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
5&6&2&9&7&1&4&3&8
\end{pmatrix}
$