第8講義演習問題(2015年9月18日)
- I
- $m\times n$行列$A$が定める線型写像
$$
f_A:\ \mathbf{K}^n\rightarrow \mathbf{K}^m
$$
に対して以下の(i)と(ii)を示しましょう。
- (i) $f_A$が単射ならば$n\leq m$が成立する。
- (ii)$f_A$が全射ならば$n\geq m$が成立する。
- II
- $\mathbf{K}^n$の線型部分空間$V$と$W$に対して
$$
V+W:=\{\vec v+\vec w\in\mathbf{K}^n;\ \vec v\in V,\vec w\in W\}
$$
が$\mathbf{K}^n$の線型部分空間となることを示しましょう。
- III
- $\mathbf{R}^n$の線型部分空間$V$に対して
$$
V^\perp:=\{\vec x\in\mathbf{R}^n;\ (\vec x,\vec v)=0\ (\vec v\in V)\}
$$
が$\mathbf{R}^n$の線型部分空間であることを示しましょう。
- IV
- $m\times n$行列$A$があるとします。$P$が$m$次の正方行列、$Q$が$n$次の正方行列であるとき
$$
\dim \mathrm{Im}(A)=\dim \mathrm{Im}(PA)
$$
$$
\dim \ker(A)=\dim \ker(PA)
$$
が成立することを示しましょう。