第8講義演習問題（2015年9月18日）

I

$m\times n$行列$A$が定める線型写像 $$ f_A:\ \mathbf{K}^n\rightarrow \mathbf{K}^m $$ に対して以下の(i)と(ii)を示しましょう。

(i) $f_A$が単射ならば$n\leq m$が成立する。

(ii)$f_A$が全射ならば$n\geq m$が成立する。

II

$\mathbf{K}^n$の線型部分空間$V$と$W$に対して $$ V+W:=\{\vec v+\vec w\in\mathbf{K}^n;\ \vec v\in V,\vec w\in W\} $$ が$\mathbf{K}^n$の線型部分空間となることを示しましょう。

III

$\mathbf{R}^n$の線型部分空間$V$に対して $$ V^\perp:=\{\vec x\in\mathbf{R}^n;\ (\vec x,\vec v)=0\ (\vec v\in V)\} $$ が$\mathbf{R}^n$の線型部分空間であることを示しましょう。

IV

$m\times n$行列$A$があるとします。$P$が$m$次の正方行列、$Q$が$n$次の正方行列であるとき $$ \dim \mathrm{Im}(A)=\dim \mathrm{Im}(PA) $$ $$ \dim \ker(A)=\dim \ker(PA) $$ が成立することを示しましょう。