第3講義演習問題（2015年6月19日）

I

$\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\in \mathbf{R}^n$, $A=(\vec a_1\ \vec a_2\ \vec a_3)$とします。このとき$\vec v\in\mathbf{R}^3$に対して $$ {}^tAA\vec v=\vec 0\Leftrightarrow A\vec v=\vec 0 $$ であることを示しましょう。

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II

$P\in M_2(\mathbf{R})$が直交行列とします。すなわち以下の同値な条件(i), (ii), (iii)のいずれかが成立するとします。
(i) ${}^tPP=I_2$,
(ii) $(P\vec v,P\vec w)=(\vec v,\vec w)\quad (\vec v,\vec w\in\mathbf{R}^2$),
(iii) $P=(\vec p_1\ \vec p_2)$とすると$||\vec p_1||=||\vec p_2||=1,\ (\vec p_1,\vec p_2)=0$が成立する。

(1) $P_1,P_2\in M_2(\mathbf{R})$が直交ならば$P_1P_2$も直交であることを示しましょう。

(2)$P\in M_2(\mathbf{R})$であるとき${}^tP$も直交となることを示しましょう。

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III

$Q_\theta= \begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$, $R_\theta= \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ とします。

$$R_\theta=Q_{\theta_1}Q_{\theta_2}$$ となる$\theta_1,\theta_2$が存在することを示しましょう。

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IV

$A=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&-1\end{pmatrix}$を回転行列で対角化しましょう。

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V

$A=\begin{pmatrix}-1&3\\3&7\end{pmatrix}$を回転行列で対角化しましょう。

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VI

$A=\begin{pmatrix}3&2\\-2&-1\end{pmatrix}$のJordan標準形を求めましょう。

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VII

$A$が$m\times n$行列とします。$B={}^tAA$が対称行列であることを示しましょう。

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VIII

$A$が対称な正則行列とします。このとき$A^{-1}$も対称行列であることを示しましょう。

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