第3講義演習問題(2015年6月19日)
- I
- $\vec a_1,\vec a_2,\vec a_3\in \mathbf{R}^n$,
$A=(\vec a_1\ \vec a_2\ \vec a_3)$とします。このとき$\vec v\in\mathbf{R}^3$に対して
$$
{}^tAA\vec v=\vec 0\Leftrightarrow
A\vec v=\vec 0
$$
であることを示しましょう。
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- II
- $P\in M_2(\mathbf{R})$が直交行列とします。すなわち以下の同値な条件(i), (ii), (iii)のいずれかが成立するとします。
(i) ${}^tPP=I_2$,
(ii) $(P\vec v,P\vec w)=(\vec v,\vec w)\quad (\vec v,\vec w\in\mathbf{R}^2$),
(iii) $P=(\vec p_1\ \vec p_2)$とすると$||\vec p_1||=||\vec p_2||=1,\ (\vec p_1,\vec p_2)=0$が成立する。
- (1) $P_1,P_2\in M_2(\mathbf{R})$が直交ならば$P_1P_2$も直交であることを示しましょう。
- (2)$P\in M_2(\mathbf{R})$であるとき${}^tP$も直交となることを示しましょう。
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- III
- $Q_\theta=
\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{pmatrix}$,
$R_\theta=
\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$
とします。
- $$R_\theta=Q_{\theta_1}Q_{\theta_2}$$
となる$\theta_1,\theta_2$が存在することを示しましょう。
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- IV
- $A=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&-1\end{pmatrix}$を回転行列で対角化しましょう。
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- V
- $A=\begin{pmatrix}-1&3\\3&7\end{pmatrix}$を回転行列で対角化しましょう。
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- VI
- $A=\begin{pmatrix}3&2\\-2&-1\end{pmatrix}$のJordan標準形を求めましょう。
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- VII
- $A$が$m\times n$行列とします。$B={}^tAA$が対称行列であることを示しましょう。
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- VIII
- $A$が対称な正則行列とします。このとき$A^{-1}$も対称行列であることを示しましょう。
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