第2講義演習問題(2015年6月12日)
- I
- $A=\begin{pmatrix}-4&-2\\3&1\end{pmatrix}$とします。
- (1) $A$を対角化しましょう。
- (2)
微分方程式
$$
\frac d{dt}
\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}
$$
の解を初期値$\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}$で表しましょう。
- ビデオ解説(1), (2)
- II
- $A=\begin{pmatrix}1&12\\3&1\end{pmatrix}$に対してCayley-Hamiltonの定理を用いて$A^n$を求めましょう。
- ビデオ解説
- III
- $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2\end{pmatrix}$に対してCayley-Hamiltonの定理を用いて$A^n$を求めましょう。
- ビデオ解説
- IV
- $A\in M_3(\mathbf{K})$とします。$\alpha,\beta,\gamma\in\mathbf{K}$が条件
$$
\alpha\not=\beta,\ \beta\not=\gamma,\ \gamma\not=\alpha
$$
を満たすとします。さらに$\vec p,\vec q,\vec r\in\mathbf{K}^3$が条件
$$
A\vec p=\alpha\vec p, A\vec q=\beta\vec q, A\vec r=\gamma\vec r
$$
$$
\vec p+\vec q+\vec r=\vec 0
$$
を満たすならば、
$$
\vec p=\vec q=\vec r=\vec 0
$$
が成立することを証明しましょう。
- ビデオ解説
- V
- $A$は$m\times n$行列とします。$A\not=O_{m,n}$ならば,ある$\vec x\in \mathbf{K}^n$
に対して
$$
A\vec x\not=\vec 0
$$
が成立することを示しましょう。
- ビデオ解説
- VI
- $A=\begin{pmatrix}7&4\\-1&3\end{pmatrix}$に対してJordan標準形を求めましょう。
- ビデオ解説
- VII
- 2次正方行列$A\in M_2(\mathbf{K})$が$\alpha\in\mathbf{K}$に対して
$$
\Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha)^2,\ A-\alpha I_2\not=O_2
$$
を満たすとします。さらに$\vec p_1\in\mathbf{K}^2$が
$$
\vec p_2:=(A-\alpha)\vec p_1\not=\vec 0
$$
を満たすとき$P=(\vec p_1\ \vec p_2)$が正則行列であることを示しましょう。
- ビデオ解説
- VIII
- (1) $ax+by=0$を満たす$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\not=\vec 0$が存在することを示しましょう。
- (2) 連立1次方程式
$$
\left\{
\begin{array}{ccc}
a_1x+a_2y+a_3z&=&0\\
b_1x+b_2y+b_3z&=&0
\end{array}
\right.
$$
を満たす
$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\not=\vec 0$が存在することを(1)を用いて示しましょう。
- ビデオ解説