第2講義演習問題（2015年6月12日）

I

$A=\begin{pmatrix}-4&-2\\3&1\end{pmatrix}$とします。

(1) $A$を対角化しましょう。

(2) 微分方程式
$$ \frac d{dt} \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix} $$ の解を初期値$\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}$で表しましょう。

ビデオ解説(1), (2)

II

$A=\begin{pmatrix}1&12\\3&1\end{pmatrix}$に対してCayley-Hamiltonの定理を用いて$A^n$を求めましょう。

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III

$A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&2\end{pmatrix}$に対してCayley-Hamiltonの定理を用いて$A^n$を求めましょう。

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IV

$A\in M_3(\mathbf{K})$とします。$\alpha,\beta,\gamma\in\mathbf{K}$が条件 $$ \alpha\not=\beta,\ \beta\not=\gamma,\ \gamma\not=\alpha $$ を満たすとします。さらに$\vec p,\vec q,\vec r\in\mathbf{K}^3$が条件 $$ A\vec p=\alpha\vec p, A\vec q=\beta\vec q, A\vec r=\gamma\vec r $$ $$ \vec p+\vec q+\vec r=\vec 0 $$ を満たすならば、 $$ \vec p=\vec q=\vec r=\vec 0 $$ が成立することを証明しましょう。

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V

$A$は$m\times n$行列とします。$A\not=O_{m,n}$ならば，ある$\vec x\in \mathbf{K}^n$ に対して $$ A\vec x\not=\vec 0 $$ が成立することを示しましょう。

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VI

$A=\begin{pmatrix}7&4\\-1&3\end{pmatrix}$に対してJordan標準形を求めましょう。

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VII

2次正方行列$A\in M_2(\mathbf{K})$が$\alpha\in\mathbf{K}$に対して $$ \Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha)^2,\ A-\alpha I_2\not=O_2 $$ を満たすとします。さらに$\vec p_1\in\mathbf{K}^2$が $$ \vec p_2:=(A-\alpha)\vec p_1\not=\vec 0 $$ を満たすとき$P=(\vec p_1\ \vec p_2)$が正則行列であることを示しましょう。

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VIII

(1) $ax+by=0$を満たす$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\not=\vec 0$が存在することを示しましょう。

(2) 連立1次方程式 $$ \left\{ \begin{array}{ccc} a_1x+a_2y+a_3z&=&0\\ b_1x+b_2y+b_3z&=&0 \end{array} \right. $$ を満たす $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\not=\vec 0$が存在することを(1)を用いて示しましょう。

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