数学II演習問題(2014年12月16日）
- I
- 次の2次形式が正定値であるための必要十分条件を求めましょう。
- (1)
$x^2+3y^2+2z^2+2axy+4axz+2yz$
- (2)
$x^2+y^2+z^2+2a(xy+yz+zx)$
- [解答ビデオ]
- II
- $x^2+y^2+z^2=1$の下で対称行列
$$
A=
\begin{pmatrix}
3&1&1\\
1&3&1\\
1&1&3
\end{pmatrix}
$$
が定める2次形式がとる値の最大値と最小値を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- III
-
$B=
\begin{pmatrix}
4&-1&-4\\
4&-1&-4\\
3&-1&-3
\end{pmatrix}$に対して$\Phi_A(\lambda)$, $m_A(\lambda)$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- 次の(1)と(2)を示しましょう。
- (1)
$A,B\in SO(3)\Rightarrow AB\in SO(3)$
- (2)
$A\in SO(3)\Rightarrow A^{-1}\in SO(3)$
- [解答ビデオ]
- IV
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&-5\\
1&3
\end{pmatrix}$
を対角化しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
-
$\alpha\not=\beta$とします。
$$
d_1(t)(t-\alpha)+d_2(t)(t-\beta)^2=1
$$
を満たす$d_1(t), d_2(t)\in\mathbf{k}[t]$を求めましょう。
- ヒント
$$
\frac 1{(t-\alpha)(t-\beta)^2}=\frac A{t-\alpha}+\frac {B+Ct}{(t-\beta)^2}
$$
を満たす$A,B,C$を求めましょう。
- [解答ビデオ]