数学II演習問題(2014年12月09日）
- 0
-
$A=
\begin{pmatrix}
\frac 32&\frac 12&\frac 12\\
-\frac 12&\frac 52&\frac 12\\
0&0&2
\end{pmatrix}$
に対して$\Phi_A(\lambda)$, $m_A(\lambda)$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- I
- $A=
\begin{pmatrix}
0&2&1\\
-4&6&2\\
4&-4&0
\end{pmatrix}$
に対して$\phi_A(\lambda)=(\lambda-2)^3$を示して、$m_A(\lambda)$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- II
-
I の$A$に対して$\ker(A-2I)$と$\ker(A-2I)^2$の基底を求めましょう。このとき
$$
\ker(A-2I)\subset \ker(A-2I)^2
$$
であることに注意して$\ker(A-2I)$の基底を$\ker(A-2I)^2$の基底に含まれるようにしましょう。
- [解答ビデオ]
- [補足ビデオ]
- III
-
$B=
\begin{pmatrix}
4&-1&-4\\
4&-1&-4\\
3&-1&-3
\end{pmatrix}$に対して$\Phi_A(\lambda)$, $m_A(\lambda)$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- IV（次回に回しました）。
- 次の(1)と(2)を示しましょう。
- (1)
$A,B\in SO(3)\Rightarrow AB\in SO(3)$
- (2)
$A\in SO(3)\Rightarrow A^{-1}\in SO(3)$
- [解答ビデオ]（2014年冬学期第10講III, 2014/12/16)
- V
- $f\in \mathbf{K}[\lambda]$,
$p\in \mathbf{K}[\lambda]$が与えられていて$p\not=0$とします。このとき任意の
$f\in\mathbf{K}[\lambda]$に対して
$$
\left\{
\begin{array}[l]
f=pq+r\\
\mathrm{deg}(r)<\mathrm{deg}(p)
\end{array}
\right.
$$
を満たす$q,r\in\mathbf{K}[\lambda]$が存在することを示しましょう。
- [解答ビデオ]