数学II演習問題(2014年12月02日）
- 0
- $3$次実対称行列
$$
A=
\begin{pmatrix}
3&1&-2\\1&3&-2\\-2&-2&6
\end{pmatrix}
$$を対角化しましょう。できたら直交行列で対角化しましょう。
- [解答ビデオ]
- I
-
$3$次実対称行列
$$
A=
\begin{pmatrix}
7&1&-2\\1&7&-2\\-2&-2&10
\end{pmatrix}
$$を直交行列で対角化して、2次形式$
\left(
A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
\right)
$
を簡単にしましょう。
- [解答ビデオ]
- II
-
$\mathbf{R}^3$中の部分空間
$$
V_1=\{
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbf{R}^3;
x-y+z=0\}
$$
$$
V_2=\{
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbf{R}^3;
x+y+z=0\}
$$
を考えます。$V_1$に関する鏡映を$Q_1$, $V_2$に関する鏡映を$Q_2$として
$$
R=Q_1Q_2
$$
を考えます。
- (1)等式
$$
R\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
=
\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
$$
を示しましょう。
(2)
$\vec p_1=\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}
$を含む$\mathbf{R}^3$の正規直交基底を求めましょう。（以下$\vec p_1, \vec
p_2, \vec p_3$とします。）
- (3)
$P=(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)$として、座
標変換
$$
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=P\begin{pmatrix}\xi\\\eta\\\zeta\end{pmatrix}$$を用いて$R$を表しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- (1)
$\vec f_1=\frac 1{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$
を含む$\mathbf{R}^3$の基底$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3$で
$$
\det(\vec f_1\ \vec f_2\ \vec f_3)=1
$$
を満たすものを求めましょう。
- (2)
$\vec f_1$を軸として$\frac {\pi}3$回転する行
列を求めましょう。すなわち基底$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3$で表現すると
$$
\begin{pmatrix}
1&0&0\\0&\frac 12&-\frac {\sqrt 3}2\\0&\frac {\sqrt 3}2&\frac 12
\end{pmatrix}
$$
となる行列を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
-
$V_1$と$V_2$は$\mathbf{K}$の部分空間として$V_1+V_2$は直和になるとします。このとき
$$
\dim(V_1\oplus V_2)=\dim V_1+\dim V_2
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]