数学II演習問題(2014年11月25日)
- 0
- $\mathbf{R}^4$の部分空間
$$
V:=
\left\{
\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix};\
\left(
\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}
\right)=0
\right\}
$$
を定めます。
- (1) $V$の基底を求めましょう。
- (2) $V$の正規直交基底を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- I
- $A=
\begin{pmatrix}
5&4&-2\\
4&5&-2\\
-2&-2&2
\end{pmatrix}$
を直交行列によって対角化して、$A$が定める2次形式を簡単にしましょう。
- [解答ビデオ]
- II
- $B=
\begin{pmatrix}
2&2&-2\\
1&2&1\\
1&-2&5
\end{pmatrix}$
とします。Cayley-Hamiltonの定理を用いて$B^{-1}$を計算しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
-
$B=
\begin{pmatrix}
1&2&-2\\
1&1&1\\
1&-2&4
\end{pmatrix}$とします。
- (1) $A$の固有多項式が
$$
\Phi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)
$$
であることを示しましょう。
- (2)直和分解
$$
\mathbf{K}^3=V(1)\oplus V(2)\oplus V(3)
$$
において$\vec v\in\mathbf{K}^3$を
$$
\vec v=\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3
$$
と直和分解(スペクトル分解)するとき
$$
f_i(A)\vec v=\vec v_i\quad (i=1,2,3)
$$
となる多項式$f_i(\lambda)\in\mathbf{K}[\lambda]$を求めましょう。
- (3) (2)を用いて$B^n$を$B^2$, $B$, $I_3$で表しましょう。
- [解答ビデオ](1)
・(2)
・(3)
- IV
- $a_{n-1}, a_{n-2},\cdots,a_1,a_0\in\mathbf{R}$とします。
$$
f(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0
$$
に対して
$$
f(\alpha)=0\Rightarrow f(\bar{\alpha})=0
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- $\vec q_1:=\frac 1{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$とします。
$$
V:=\{\vec v\in \mathbf{R}^3;\ (\vec v,\vec q_1)=0\}
$$
と2次元の部分空間を定めます。このとき$\vec x\in\mathbf{R}^3$の$V$への正射影$P\vec x$は
$$
P\vec x\in V,\quad \vec x-P\vec x\perp \vec q_1
$$
で定まります。
- (1) $P$を行列で表しましょう。
- (2)$V$に関する鏡映
$$
Q\vec x=\vec x+2(P\vec x-\vec x)
$$
で定まる$Q$を行列で表しましょう。
- [解答ビデオ(1)]
・
[解答ビデオ(2)]
- V
- $P_1, P_2\in O(3)$ならば$P_1P_2\in O(3)$を示しましょう。
- $P\in O(3)$ならば${}^tP\in O(3)$を示しましょう。
- [解答ビデオ]