数学II演習問題(2014年11月25日）

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$\mathbf{R}^4$の部分空間 $$ V:= \left\{ \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix};\ \left( \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix} \right)=0 \right\} $$ を定めます。

(1) $V$の基底を求めましょう。

(2) $V$の正規直交基底を求めましょう。

[解答ビデオ]

I

$A= \begin{pmatrix} 5&4&-2\\ 4&5&-2\\ -2&-2&2 \end{pmatrix}$ を直交行列によって対角化して、$A$が定める2次形式を簡単にしましょう。

[解答ビデオ]

II

$B= \begin{pmatrix} 2&2&-2\\ 1&2&1\\ 1&-2&5 \end{pmatrix}$ とします。Cayley-Hamiltonの定理を用いて$B^{-1}$を計算しましょう。

[解答ビデオ]

III

$B= \begin{pmatrix} 1&2&-2\\ 1&1&1\\ 1&-2&4 \end{pmatrix}$とします。

(1) $A$の固有多項式が $$ \Phi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3) $$ であることを示しましょう。

(2)直和分解 $$ \mathbf{K}^3=V(1)\oplus V(2)\oplus V(3) $$ において$\vec v\in\mathbf{K}^3$を $$ \vec v=\vec v_1+\vec v_2+\vec v_3 $$ と直和分解（スペクトル分解）するとき $$ f_i(A)\vec v=\vec v_i\quad (i=1,2,3) $$ となる多項式$f_i(\lambda)\in\mathbf{K}[\lambda]$を求めましょう。

(3) (2)を用いて$B^n$を$B^2$, $B$, $I_3$で表しましょう。

[解答ビデオ](1) ・(2) ・(3)

IV

$a_{n-1}, a_{n-2},\cdots,a_1,a_0\in\mathbf{R}$とします。 $$ f(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0 $$ に対して $$ f(\alpha)=0\Rightarrow f(\bar{\alpha})=0 $$ が成立することを示しましょう。

[解答ビデオ]

V

$\vec q_1:=\frac 1{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$とします。 $$ V:=\{\vec v\in \mathbf{R}^3;\ (\vec v,\vec q_1)=0\} $$ と2次元の部分空間を定めます。このとき$\vec x\in\mathbf{R}^3$の$V$への正射影$P\vec x$は $$ P\vec x\in V,\quad \vec x-P\vec x\perp \vec q_1 $$ で定まります。

(1) $P$を行列で表しましょう。

(2)$V$に関する鏡映 $$ Q\vec x=\vec x+2(P\vec x-\vec x) $$ で定まる$Q$を行列で表しましょう。

[解答ビデオ(1)] ・ [解答ビデオ(2)]

V

$P_1, P_2\in O(3)$ならば$P_1P_2\in O(3)$を示しましょう。

$P\in O(3)$ならば${}^tP\in O(3)$を示しましょう。

[解答ビデオ]