数学II演習問題(2014年11月18日）

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$A= \begin{pmatrix} 3&-1&-2\\ -1&3&2\\ -2&2&6 \end{pmatrix}$ に対して$\Phi_A(\lambda)$を求めましょう。

[解答ビデオ]

I

$A= \begin{pmatrix} 9&2&-4\\ -4&3&4\\ 2&2&3 \end{pmatrix}$ とします。Cayley-Hamiltonの定理を用いて$A^n$を計算しましょう。

[解答ビデオ]

II

$A\in M_3(\mathbf{C})$が$\det(A)\not=0$を満たします。 $$ \Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha_1)(\lambda-\alpha_2)(\lambda-\alpha_3) $$ のとき$\Phi_{A^{-1}}(\lambda)$を求めましょう。

[解答ビデオ]

III

$f(\lambda)\in\mathbf{K}[\lambda]$とします。$A\in M_3(\mathbf{K})$があって $$ \Phi_A(\lambda)=(\lambda-\alpha_1)(\lambda-\alpha_2)(\lambda-\alpha_3) $$ を$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbf{K}$に対して満たします。このとき $$ \Phi_{f(A)}(\lambda) $$ を求めましょう。

[解答ビデオ]

IV

$A= \begin{pmatrix} 6&-3&-7\\ -1&2&1\\ 5&-3&-6 \end{pmatrix}$ に対して以下を示しましょう。

(1)$\Phi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-2)$

(2)$V(-1)\oplus V(1)\oplus V(2)=\mathbf{K}^3$

(3)各固有空間$V(\alpha)$に対して$\mathbf{K}^3$から$V(\alpha)$への射影を$A$で表しましょう。

[解答ビデオ(1)]・ [解答ビデオ(2)]・ [解答ビデオ(3)]

(2)の解答は少し回りくどいことをしています。

V

$A= \begin{pmatrix} 4&4&-2\\ 4&4&-2\\ -2&-2&1 \end{pmatrix}$ を対角化しましょう。

[解答ビデオ]