数学II演習問題(2014年11月04日）
- 0
- (1)
次の行列式の値を求めましょう。
$$
\begin{vmatrix}
1&3&3&1\\
3&10&11&4\\
3&11&14&6\\
1&4&6&4
\end{vmatrix}
$$
- (2)
次の連立$1$次方程式をクラメールの公式を用いて解きましょ
う。$y$の値だけ答えれば十分です。
$$
\begin{pmatrix}
3&1&1&1\\
2&-1&2&-1\\
2&0&3&1\\
1&0&2&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z\\w
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\4\\1\\3
\end{pmatrix}
$$
- [解答ビデオ](1)
・(2)
- I
-
$A\in M_3(\mathbf{Z})$とします。すなわち$A=(a_{ij})$とするとき
$$
a_{ij}\in \mathbf{Z}
$$
が成立するとします。$A$が正則であると仮定すると
$$
A^{-1}\in M_{3}(\mathbf{Z})\Leftrightarrow
|A|=\pm 1
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- 次の等式を満たす$\lambda\in \mathbf{C}$を求めましょう。
(1)
$
\begin{vmatrix}
\lambda&1&0&\lambda\\
0&\lambda&\lambda&1\\
1&\lambda&\lambda&0\\
\lambda&0&1&\lambda
\end{vmatrix}
=0
$
(2)
$
\begin{vmatrix}
\lambda&1&0&0\\
0&\lambda&1&0\\
0&0&\lambda&1\\
1&0&0&\lambda
\end{vmatrix}
=0
$
- [解答ビデオ]
- V
-
$A\in M_n(\mathbf{K})$の余因子行列を$\tilde A$
とします。このとき
$$
|\tilde A|=|A|^{n-1}
$$
を示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
-
以下では、実対称行列$A\in M_2(\mathbf{R})$
に対して
\begin{eqnarray*}
(A\vec x,\vec x)\geq 0 (\vec x\in \mathbf{R}^2)&\Leftrightarrow& A\text{の固有値}\alpha,\beta\geq 0\\
&\Leftrightarrow& A=\begin{pmatrix} a&c\\c&b\end{pmatrix}\text{のとき} a,b\geq 0,|A|\geq 0
\end{eqnarray*}
であることを以下では用います。$m\times 2$行列$B=(\vec a\ \vec b)$に対し
て不等式
$$
\left\|
(\vec a,\vec b)
\right\|
\leq ||\vec a||\cdot ||\vec b||
$$
が成立することを示しましょう。さらに不等式の等号成立条件を求めましょう。
- [解答ビデオ]