数学II演習問題(2014年10月28日)
- I
- $$
\frac {b+c}a=\frac {c+13a}b=\frac {a-b}c
$$
が成立します。この式の値を$3$次の行列式を用いて求めましょう。
- [解答ビデオ](前半)
・(後半)
- II
- (1)
$V\subset\mathbf{R}^n$は部分空間とします。
$$
V^\perp=\{\vec w\in\mathbf{R}^n; (\vec v,\vec w)=0\ (\vec v\in V)\}
$$
が$\mathbf{R}^n$の部分空間であることを示しましょう。
- (2)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。
$$
V_1\subset V_2
$$
が成立するならば$V_1^\perp\supset V_2^\perp$が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ](1)
・(2)
- III
- 一般に
$$
\frac d{dt}\begin{pmatrix}a_1(t)\\a_2(t)\\a_3(t)\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a'_1(t)\\a'_2(t)\\a'_3(t)\end{pmatrix}
$$
と定めます。$\vec a(t),\vec b(t),\vec c(t)$が$\mathbf{R}^3$値のとき
$$
\frac d{dt}
\begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}\frac d{dt}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}\vec a(t)&\frac d{dt}\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\frac d{dt}\vec c(t)\end{vmatrix}
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
-
-
$A\in M_3(\mathbf{R})$に対して
$$
\Phi_A(t)=\det(tI_3-A)
$$
と定めます。このとき$\Phi_A'(0)$と$\Phi''_A(0)$を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- V
-
- $A=(\vec a_1\ \cdots\ \vec a_n)\in M_n(\mathbf{K})$
とします。$\vec a_1,\ldots,\vec a_n$が$1$次従属ならば
$$
\det(A)=0
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
- 次の行列式の値を求めましょう。
- (1)
$\begin{vmatrix}
1&1&0&0\\
0&1&1&0\\
0&0&1&1\\
1&0&0&1
\end{vmatrix}$
- (2)
$\begin{vmatrix}
1&a&d&b+c\\
1&b&a&c+d\\
1&c&b&a+d\\
1&d&c&a+b
\end{vmatrix}$
- [解答ビデオ]
- VII
- (1)
$$
\begin{vmatrix}
a&b&c\\
c&a&b\\
b&c&a
\end{vmatrix}
=a^3+b^3+c^3-3abc
$$
を示しましょう。
- (2)
$$
(a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz)
=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma
$$
を示しましょう。ただし
$$
\alpha=ax+by+cz,\quad \beta=ay+bz+cx,\quad \gamma=az+bx+cy
$$
とします。
- [解答ビデオ](1)・
(2)