数学II演習問題(2014年10月28日）

I

$$ \frac {b+c}a=\frac {c+13a}b=\frac {a-b}c $$ が成立します。この式の値を$3$次の行列式を用いて求めましょう。

[解答ビデオ]（前半） ・（後半）

II

(1) $V\subset\mathbf{R}^n$は部分空間とします。 $$ V^\perp=\{\vec w\in\mathbf{R}^n; (\vec v,\vec w)=0\ (\vec v\in V)\} $$ が$\mathbf{R}^n$の部分空間であることを示しましょう。

(2)$V_1,\ V_2$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$ V_1\subset V_2 $$ が成立するならば$V_1^\perp\supset V_2^\perp$が成立することを示しましょう。

[解答ビデオ](1) ・(2)

III

一般に $$ \frac d{dt}\begin{pmatrix}a_1(t)\\a_2(t)\\a_3(t)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a'_1(t)\\a'_2(t)\\a'_3(t)\end{pmatrix} $$ と定めます。$\vec a(t),\vec b(t),\vec c(t)$が$\mathbf{R}^3$値のとき $$ \frac d{dt} \begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\frac d{dt}\vec a(t)&\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\vec a(t)&\frac d{dt}\vec b(t)&\vec c(t)\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}\vec a(t)&\vec b(t)&\frac d{dt}\vec c(t)\end{vmatrix} $$ が成立することを示しましょう。

[解答ビデオ]

IV

$A\in M_3(\mathbf{R})$に対して $$ \Phi_A(t)=\det(tI_3-A) $$ と定めます。このとき$\Phi_A'(0)$と$\Phi''_A(0)$を求めましょう。

[解答ビデオ]

V

$A=(\vec a_1\ \cdots\ \vec a_n)\in M_n(\mathbf{K})$ とします。$\vec a_1,\ldots,\vec a_n$が$1$次従属ならば $$ \det(A)=0 $$ が成立することを示しましょう。

[解答ビデオ]

VI

次の行列式の値を求めましょう。

(1) $\begin{vmatrix} 1&1&0&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&1\\ 1&0&0&1 \end{vmatrix}$

(2) $\begin{vmatrix} 1&a&d&b+c\\ 1&b&a&c+d\\ 1&c&b&a+d\\ 1&d&c&a+b \end{vmatrix}$

[解答ビデオ]

VII

(1) $$ \begin{vmatrix} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{vmatrix} =a^3+b^3+c^3-3abc $$ を示しましょう。

(2) $$ (a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz) =\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma $$ を示しましょう。ただし $$ \alpha=ax+by+cz,\quad \beta=ay+bz+cx,\quad \gamma=az+bx+cy $$ とします。

[解答ビデオ](1)・ (2)