数学II演習問題(2014年10月21日)
- I
- 次の行列式の値を求めよ。
- (1)
$\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
1&2&1&1\\
1&1&2&1\\
1&1&1&2
\end{vmatrix}$
(2)
$\begin{vmatrix}
1&1&0&0&0\\
0&1&1&0&0\\
0&0&1&1&0\\
0&0&&1&1\\
1&0&0&0&1
\end{vmatrix}$
(3)
$\begin{vmatrix}
5&2&8&7\\
8&3&9&8\\
2&0&6&5\\
2&1&3&2
\end{vmatrix}$
(4)
$\begin{vmatrix}
1&-2&-3&0&5\\
2&0&1&-4&-3\\
-2&3&0&0&5\\
-5&2&-2&5&7\\
-3&-1&-5&2&-2
\end{vmatrix}$
- [解答ビデオ](1)+(2)・
(3)+(4)
- II
-
$\vec a\in \mathbf{R}^3$は
$\vec a={}^t(a_1\ a_2\ a_3)\not=\vec 0$を満たすとします。
$\det(I_3+\vec a\cdot {}^t\vec a)$を計算しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- 次の行列式を計算しましょう。
-
(1)
$\begin{vmatrix}
1&1&1&1\\
a&b&c&d\\
a^2&b^2&c^2&d^2\\
a^3&b^3&c^3&d^3
\end{vmatrix}$
(2)
$\begin{vmatrix}
a&1&1&1\\
1&a&1&1\\
1&1&a&1\\
1&1&1&a
\end{vmatrix}$
- [解答ビデオ](1)・
(2)
- IV
-
$m>n$とします。$A$が$m\times n$行列、$B$が$n\times m$
行列とするとき
$$
\det(AB)=0
$$
が成立することを証明しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- 座標平面上の$3$点$(x_i,y_i)\ (i=1,2,3)$が同一直線上に
あるための必要十分条件が
$$
\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}=0
$$
であることを証明しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
- 写像
$$
\varphi_1:\ S_n\longrightarrow \sigma\mapsto \sigma^{-1}
$$
が単射であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- $\tau\in S_n$であるとき、写像
$$
\varphi_2:\ S_n\longrightarrow \sigma\mapsto \sigma\cdot\tau^{-1}
$$
が単射であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]