数学II演習問題(2014年10月21日）

I

次の行列式の値を求めよ。

(1) $\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&2&1&1\\ 1&1&2&1\\ 1&1&1&2 \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} 1&1&0&0&0\\ 0&1&1&0&0\\ 0&0&1&1&0\\ 0&0&&1&1\\ 1&0&0&0&1 \end{vmatrix}$ (3) $\begin{vmatrix} 5&2&8&7\\ 8&3&9&8\\ 2&0&6&5\\ 2&1&3&2 \end{vmatrix}$ (4) $\begin{vmatrix} 1&-2&-3&0&5\\ 2&0&1&-4&-3\\ -2&3&0&0&5\\ -5&2&-2&5&7\\ -3&-1&-5&2&-2 \end{vmatrix}$

[解答ビデオ](1)+(2)・ (3)+(4)

II

$\vec a\in \mathbf{R}^3$は $\vec a={}^t(a_1\ a_2\ a_3)\not=\vec 0$を満たすとします。 $\det(I_3+\vec a\cdot {}^t\vec a)$を計算しましょう。

[解答ビデオ]

III

次の行列式を計算しましょう。

(1) $\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ a&b&c&d\\ a^2&b^2&c^2&d^2\\ a^3&b^3&c^3&d^3 \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} a&1&1&1\\ 1&a&1&1\\ 1&1&a&1\\ 1&1&1&a \end{vmatrix}$

[解答ビデオ](1)・ (2)

IV

$m>n$とします。$A$が$m\times n$行列、$B$が$n\times m$ 行列とするとき $$ \det(AB)=0 $$ が成立することを証明しましょう。

[解答ビデオ]

V

座標平面上の$3$点$(x_i,y_i)\ (i=1,2,3)$が同一直線上に あるための必要十分条件が $$ \begin{vmatrix} x_1&y_1&1\\ x_2&y_2&1\\ x_3&y_3&1 \end{vmatrix}=0 $$ であることを証明しましょう。

[解答ビデオ]

VI

写像 $$ \varphi_1:\ S_n\longrightarrow \sigma\mapsto \sigma^{-1} $$ が単射であることを示しましょう。

[解答ビデオ]

VII

$\tau\in S_n$であるとき、写像 $$ \varphi_2:\ S_n\longrightarrow \sigma\mapsto \sigma\cdot\tau^{-1} $$ が単射であることを示しましょう。

[解答ビデオ]