日本語トップ> 講義> ルベーグ積分>

解析学1講義録訂正および補足 服部哲弥


凡例.
  1. 括弧内8桁の数字は日付 19970428=1997年4月28日
  2. (nnnnnnnn版) とあるのは nnnnnnnn という日の時点での講義録のこと (講義録の日付は講義録最初のページの右肩の更新日一覧略号の最後の日付)
  3. p.nn l.mm とあるのは nnページのmm行目の意味
  4. p.nn l.mm--kk とあるのは nnページのmm行目からkk行目の意味
  5. p.nn l.-mm とあるのは nnページの下からmm行目の意味
行数は,断らなければ本文の行数で,ページの一番上(一番下)から数える (ページ番号の行は除く).
  1. (19971221版) §17 Lp空間の完備性 系105 「limfn」 → 「limn→∞

  2. (19971221版) §17 Lp空間の完備性 p.72 命題102
    Schwarzの不等式の証明の部分は,その次の Hoelderの不等式に含まれてしまうので わざわざ別にやる必要がない(削除可).
    (解説)

    教科書は節の最初にSchwarzの不等式を長々と証明して, 節末にあっさりHoelderの不等式を証明している. 後者は前者を含んでいるので,教科書のSchwarzの証明の部分 (補助定理1,2,3を含む)は無駄だと思う.

    例えば, 教科書の補助定理1は Schwarzの不等式の証明で (f,g) の有限性を保証するためだが, Holder の証明を適用すると各点で fg\le (f^2+g^2)/2 という 当たり前の式を使っている.右辺の積分が有限だから当然左辺も有限!



  3. (19971221版) §17 Lp空間の完備性 p.72 l.-9
    最後の f は g の間違い.

  4. (19971221版) §17 Lp空間の完備性 p.72 l.-7
    式が Schwarz の不等式になっている.正しくは
    |(f,g)| ≦ ||f||p ||g||q

  5. (19971221版) §17 Lp空間の完備性 p.72 定義27 (iii)
    「となるとき,」→削除
  6. (19970429版) §6.1.1空間の位相構造と独立な性質 p.31 l.6
    「証明は単調」というのは書き過ぎ.f-g が可測関数になることだけは 注意を要する. まず,{f-g>a} = ({f>r} かつ {r>g+a}) の, r が有理数をわたる和,と書ける. 右辺に出てくる集合は f,g が可測関数だから可測集合で,和は可算和だから 右辺が可測集合になることで証明が完了する. ( r が実数をわたる和,と書いても等号は成り立つが,非可算和になるので 可測集合になることが証明できない.) あとの証明は単調.

  7. (19970429版) §5.1.3可測関数 p.27 l.-5
    A の補集合が L の「要素である」という記号にすべきところ 「含まれる(部分集合)」という記号に間違っている.
    (19971208 高野泰洋君)

  8. (19970429版) §6.2.1広義のLebesgue積分 p.32 補題46に対する注
    fn は n について単調な単関数列なので,その積分は単調数列となり, 従って,正の無限大を許せば fn の極限もその積分の極限も存在する. 補題の主張に lim の記号を使ってよいのはそのため.

  9. (19970429版) §6.2.1広義のLebesgue積分 p.34 l.10
    「(i)で証明したことより」は 「-gの積分がgの積分の符号を変えたものに等しいことより」の間違い.

  10. (19970429版) §6.2.1広義のLebesgue積分 p.34 l.1
    af の積分が f の積分の a倍に等しいのは, a が非負のときは講義録に書いてある通り. a<0 のときは (-f)+=f- などと,+-が入れ替わるので, 別にやらないといけない.a=-1 だけやれば十分.このときさらに, (-f)-=f+ なので, -f=(-f)+-(-f)+=f--f+ の積分は たしかに f の積分の符号を変えたものになることが分かる.

  11. (19970429版) §7.1単調収束定理 p.35 l.13
    「f は積分可能で」 は 「f は定積分を持ち」の誤り

  12. (19970429版) §7.1単調収束定理 p.35 l.13
    「最初から,f, fn は E の各点で有限値をとると仮定してよい」  とあるが,f は無限かも知れない.しかし,あとの証明では f は無限大でも 構わない.従って上記語句中から f を削除.

  13. (19960828版) §1.1.1σ加法族 p.5 l.-7
    「可算和」の記号と「含まれる」という記号の間に An が抜けている.
    (19970428 高野泰洋君)

日本語トップ> 講義> ルベーグ積分>