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ルベーグ積分(測度論)に関する大学院入試問題と解答例 服部哲弥

昭和60(1985)年度から平成9(1997)年度の大学院入試問題のうち ルベーグ積分(測度論)に関する問題 177問を抜き出して分類し, 解答をつけたものです. 先生がたには,ルベーグ積分の講義の演習問題や学生さんの自習の指導に, 学生諸君には,ルベーグ積分の演習や院試勉強に,自由にお使い下さい.
問題集 (pdf files)
  1. 1.測度 26問       (約110KB 6 pages pdf file・Last update 2018/11/11)
  2. 2.可測関数と積分 41問       (約110KB 9 pages pdf file・Last update 2005/02/10)
  3. 3.収束定理(1)とFubiniの定理 44問       (約130KB 10 pages pdf file・Last update 2008/07/03)
  4. 4.不定積分と密度 15問       (約70KB 4 pages pdf file・Last update 2008/09/14)
  5. 5.収束定理(2) 51問       (約120KB 12 pages pdf file・Last update 2008/09/16)

解答集 (pdf files)
  1. 1.測度 26問       (約160KB 12 pages pdf file・Last update 2018/12/14)
  2. 2.可測関数と積分 41問       (約180KB 17 pages pdf file・Last update 2019/07/15)
  3. 3.収束定理(1)とFubiniの定理 44問       (約230KB 21 pages pdf file・Last update 2020/08/20)
  4. 4.不定積分と密度 15問       (約140KB 11 pages pdf file・Last update 2016/12/14)
  5. 5.収束定理(2) 51問       (約310KB 32 pages pdf file・Last update 2020/08/20)

説明

  1. 問題集は,日本数学教育学会編「大学院修士課程入学試験問題集」の 昭和60(1985)年度から平成9(1997)年度の13冊に収録された問題のうち, ルベーグ積分(測度論)に関する問題 177問を抜き出して分類したものです.
    • 抜き出して収録するにあたって, 表記等が極端にバラバラにならないようにするために, 記号や用語や文体を書き換えた場合があります.
    • 収録範囲は,出題意図が主にルベーグ積分(測度論)にあると思われるものに限り ました. (永久に完成しなくなるのを防ぐための便宜的な措置,という意味に受け取って くださって差し支えありません.)
  2. 解答集は,問題集に収録した 177問に勝手に解答をつけてみたものです.
    • 長い年月にわたって細切れの時間を使って解いたので, 解答の書き方が一貫していません.完成度にもムラがあります. ご了解下さい.
    • その後,多くの方々から訂正・改訂のためのご指摘をいただきました. 感謝に代えて, 下記訂正一覧のページの各訂正項目にお名前を書かせて頂いています. お名前の有無にかかわらず,残っている不備はもちろん服部の責任です.
  3. pdfのダウンロードもこのページへのリンクもURL転載も自由です. その他,電子的な扱いに関してはフリーソフトウェアに準じて考えています.
    • (善意の)非営利・教育目的ならば自由にご利用下さい.
    • 自習や教育目的で問題を探している方々への情報提供も自由です.
    • URLや検索キーワード(服部哲弥 大学院入試問題 ルベーグ積分)も転載自由 です.
    • ご利用にあたってご連絡等は不要です. (バグの修正案や,解答の簡易化などのバージョンアップのご提案は ありがたくお受けします.)
    • (以下いつものお約束ですが,)バグ(冷汗)による損害等 (例:単位を落とした,院試で失敗した,定期試験で出題ミスを受講生に 指摘された)の責任は負いません(負えません…).
    • pdfファイルのみの転送・ミラー化やpdfへの直接リンクは, 趣旨や訂正情報等が伝わらないため, そして,何よりも,サイト引越でリンク切れになるので, ご遠慮ください. 有意義と感じてくださったかたは, このwebページ(htmlファイル)と込みで情報を広めていただけるとさいわいです.

補足・訂正のページ

最新版以外をお使いのかたは, ダウンロード後の更新情報については以下をご利用下さい. 指摘を下さった方々のお名前はこちらに書かせていただきました. (最近のSNS経由のご指摘についてアカウント名等で表示しているものがありますが, 本名等をご連絡いただければ本名等に差し替えます.)

広告枠(自著単行本2点)

測度論(ルベーグ積分)は成立して2世紀たっていない,若い数学ですが, 既に数学の広い分野で使われるだけでなく,数学以外でも広く基礎事項として 用いられています. コルモゴロフが全測度1の測度を確率と呼び,積分を期待値を呼んだので, 現代の確率論は測度論の直系の子孫です. 前世紀終盤から日本語の良い基礎教科書もたくさん出てきたので, 確率論の勉強には困らないと思いますが, 私も(少しマニアックな)教科書を書きました. 行きがけの駄賃で 確率論も勉強したいと思ってくださった向きには,ご一考いただければさいわいです.

ルベーグ積分関連の大学院入試問題は,出題傾向など入試対策には重宝しますが,試験問題は採点,したがって出題意図の制約があるからか,出題に偏りなどがあります.測度論・ルベーグ積分論の基礎事項の学習,特に到達度や理解の穴などの確認には,標準的な基礎教科書の内容に合わせて作題しヒント(解説)や解答を付けた「難問克服 ルベーグ積分」もご検討よろしくお願いします.



このページ(院試問題・解答集)の歴史

1998年頃,立教大学のT.A. (teaching assistant)制度に基づいて 当時理学部数学科大学院生だった津田稔朗君 (現,第一生命,アクチュアリー,企業年金のエキスパート) の協力を得て,測度論の講義の自習用演習教材のために, 大学院入試問題集から測度に関する問題を抽出して解答例とともに 編集・配列し始めました. (収録範囲が1997年度までなのは問題を抜き出したのがこの頃だったためです.) しかし,T.A. の協力を得たとはいえ, 難しいところは服部が担当せざるを得ず, 大学院入試問題は難易の差が著しいために少数の問題に多大の時間をとられる 結果になり,また, 初学者の自習の役に立つように解答の記述を配慮するなどのためには 服部の関与する必要のある時間が多すぎて, 収集した範囲の1/3をまとめるのが精一杯だったようです. なお,当時同僚だった落合啓之さんには早速にいろいろ指摘をいただきました.

2005年に東北大学で再び測度論の講義を担当させていただけることになったのを機に, 測度論1年分の講義のうちの前半半年分の範囲の問題については解答を ひととおり完成させるべく, 収集した問題のなかほどの1/3弱の解答を,今回は一人で作りました. 講義の機会のなかった6年間に, 解答方針・解答体裁・記号や言葉遣い・何を基礎事項と考えるかなどの判断が 自分の中で変わったらしく, 小見出しの配列や問題の分類や配列(収集範囲さえも), 解答の書き方や問題や解答への注,に違和感を覚える部分も生じました. 6年前に付けた解答も再吟味が必要かもしれないとは思いましたが, とうていその時間はとれないので, 以前に完成した分の再確認・再調整は最小限にとどめました.

2008年前期(特に2月頃と7月頃)落合啓之さんに第3分冊までについて 多数の指摘をいただきました. この間の半年ルベーグ積分の講義を担当されたそうで, そのおこぼれに預かった形です. 受講生諸君をさしおいて,遠隔地にいる私が落合先生の講義の恩恵に 一番あずかったかもしれません.

2008年夏休み(8月から9月にかけて),3年半ぶりに,残っていた第4,5分冊, 全体の1/3強,にとりかかりました. 問題を選び,第1分冊をwebに公開してからちょうど10年, 177問全てに解答を付け終えました.がんばった主な理由は以下です.

  1. 2008年度は研究科某委員会委員長と某責任者の兼務が重なって 研究も教育もまとまった時間が取れず(そこまでは覚悟していたけれど), それに加えて持ち込まれる雑用(片手間にできる間はいいけど, 片付けるとさらに,と蟻地獄かネズミ講− 部局事務ってなぜ教員を研究と教育から引き離そうとするのかな?) を断るためのストレスと時間の浪費を計算し落としていたため, 精神的・肉体的に非可逆的な変調が生じ, 残った細切れの時間を「数学リハビリ」にあてる必要が生じました.
  2. 落合啓之さんに講義で第3分冊までを参考にしてくださった上に, 「いつまでも公開しないよりは、公開することの利益が大きいと思います。」 という暖かい励ましをいただきました.
  3. 第3分冊までは,講義を担当させていただくたびにそれをきっかけにして追加して きましたが,需要と供給(ルベーグ積分の講義数対担当可能教員推測数,および, その他の講義対担当希望教員推測数)を比較すると, 私がこの先ルベーグ積分を担当する可能性は小さい,と気づいたので, 講義担当と無関係に決着させる必要を感じました.
  4. (以前からウォッチしてくださっていた方々へのおまけの理由.)  「収束定理(1)があって,(2)が無い」と楽しみ(?)にしてくださっていたか と思います.お待たせしました(^_^)

ひととおり解答をつけましたが,改めて見直すと,解答どころか分類も不完全で, 動かしたほうが良いものがあることも具体的に承知しています. 解答例は教育効果を意識して院試での解答例よりも長い解説的な内容も込めるよう 努力しましたが,長期にわたる細切れの時間の蓄積の結果なので,ムラがあります. 教科書の基礎定理の証明を問う出題には,使い慣れた古い教科書の証明を参照して しのいだ場合もあります.新しい教科書 (たとえば, 吉田伸生,「ルベーグ積分入門 --使うための理論と演習」,遊星社) も出ています. ざっと拝見したところ,吉田さんの教科書の問と重複する問題は少ないようですが, 基礎定理の証明を問う出題は,新しい教科書に,(初学者向けの)より良い証明が 見つかるかもしれません. それらを含めた改訂は,需要が大きければ,ということにして, 今回は歴史的経緯を踏襲します.(「さぼります」と同義,と受け取って くださって差し支えありません.)

2009年以降の追記: 2008年夏にいちおうの完成を宣言してから半年過ぎ以降,おかげさまでwebで反響が大きくなっているように思います. (追記の追記(2020/08/20): この項目は当初「2009年の追記」だったのが,2010年台以降の追記もぶら下げたために順序がおかしくなったので,2009年以降の追記として,見つけた/連絡を頂いた順に並べ直します.)

  1. 「神」と紹介していただきました(間違いなく初めて):  ap2008 linkのページ 学習・研究関係のところ
    服部哲弥先生-ルベーグ積分の神サイト.
    
  2. 2チャンネル数学板で紹介していただきました(たぶん初めて):  数学の本 第33巻
    373 :132人目の素数さん:2009/04/12(日) 18:21:46
    東北大かどっかの先生が ルベーグ積分の院死の問題 
    300くらい回答付きでまとめてたなぁ。 
    2chのどっかのスレのリンクで言ったんだが、 どこだったかしら 
    374 :132人目の素数さん:2009/04/12(日) 19:02:27
    >>373 
    服部哲弥でぐぐれ 
    

    「300問」はどこかで話が大きくなっているようですが, 噂が広まっているようで,ありがたいことです. 自由にご利用下さい. (検索に引っかかったのはこのレスだけですが,これ以前にも2chで 評判になっていたのでしょうか….)

  3. 2チャンネル数学板の別のスレで紹介していただきました:  ルベーグ積分に関する問題を作り、解け
    67 :132人目の素数さん:2009/09/27(日) 14:14:42
    とりえずはっとく 
    ttp://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/inmon.htm 
    

    とりあえずどうもありがとうございます (^_^) とりあえず有益と考えてくだされば,自由に広めていただければさいわいです.

  4. 2チャンネル数学板のさらに別のスレで紹介していただきました (Google検索が新しい内容優先に変わったのか,ごく最近のレスがかかりました):  ルベーグ積分の参考書
    74 :132人目の素数さん:2009/11/21(土) 23:09:36
    ルベーグ積分なんて適当にぐぐったサイトで学習すればいいじゃん。 
    わざわざテキスト購入する価値のあるもんでもないし。 
    75 :132人目の素数さん:2009/11/21(土) 23:29:59
    んだ。服部さんとことか見てからにすりゃあ、いいべ 
    76 :132人目の素数さん:2009/11/22(日) 06:42:56
    >>75 服部乙 
    

  5. 2012年の追記: 新春早々,東京工業大学の福島竜輝先生から,第3分冊 (Fubiniの定理)に訂正・改訂のご指摘がありました.どうもありがとうございます!
  6. 2016年の追記 :
    1. 森元俊成さんが 練習問題として利用を続けて下さって,何カ所もの指摘を下さいました. どうもありがとうございます!
    2. 朝倉書店さんからルベーグ積分の新しい訳書を頂きました.

      テレンス・タオ著,舟木直久監訳,乙部厳己訳, 「ルベーグ積分入門」,浅倉書店,2016.

      演習問題もたくさんありますが,ざっと見たところ,短くまとめた本文を補完する 重要な基本命題的結果を(巻末回答の無い)問の形で呈示しているようなので, 玉石混淆で推測出題意図雑多なこちらの院試問題集との重なりは殆ど無いようです.

  7. 2018年の追記 : ツイッターアカウント @konankun さんから第1分冊問題の書き間違いの指摘を頂きました.どうもありがとうございます!
  8. 2019年の追記 : 筑波大学医学類の高椋翼さんが勉強を続けておられて, 2018年から2019年にかけて多くのご指摘を頂きました. どうもありがとうございます!
  9. 2020年の追記 :
    1. ツイッターアカウント Δ∇@nabla_delta さんから第5分冊へのご指摘で,私が問題を完全に誤解していたことが判明しました.どうもありがとうございます!
    2. 福島竜輝先生から(8年前に東工大におられた当時のメールのやり取りの返信で,その後京都大学を経てこの時点では筑波大学から),第3分冊と第5分冊に別解のご指摘がありました.どうもありがとうございます!

おかげさまでこのページは私の知らないところで緩やかに広まっていて, 「実は利用しました」と後から教わることが少しずつ増えている気がします. その分,解答例が「永遠の暫定版」(ソフトウェアのいわゆる`as is'提供)に とどまっていることが忘れられて,確定版扱いになる危惧を感じています. 出題意図の推測やすっきりした解答について明示的に未解決としているところも ありますので,腕に覚えのある方にはお気づきの点を (期末試験等の出題のついでにでも, メールあるいはツイッターアカウント @tetshattori に) ご一報ご協力いただければたいへんさいわいです.



1998年まで(初公開当初)の記録

(以下は記録のためだけに残してあって, 問題と解答の内容は上記に含まれているので,新規ご利用には不要です.)

立教大学の T.A. 制度に基づいて理学部数学科大学院生の津田稔朗君の協力を得て, 解析学1の講義(1998年当時まで)の練習問題として, 大学院入試問題集から測度に関する問題を抽出して解答例とともに 編集・配列したものに基づく資料です.

問題集 (pdf files) 解答例 (pdf files) 訂正のページ

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